分类:量子博弈

研究背景和问题

量子力学和经典力学的本质区别是量子系统的状态存在加法，而经典系统的状态没有加法。于是，后者只能是一个分布函数，前者是一个密度矩阵。

经典博弈可以看做是对经典客体的操作的选择，例如有一个硬币博弈者需要决定翻转或者不翻转这个硬币。两个博弈者可以在同一个硬币上来操作，也可以分别在一个硬币上来操作，然后按照操作的结果来获得收益^[1][2]。对于这样的一个博弈的操作定义，存在着一个抽象定义，那里只有策略和策略的分布函数，以及收益函数，而不再有底层的经典客体和经典客体的状态。

现在的问题是，如果我们把硬币这样的经典客体换成自旋这样的量子客体，由于客体本身状态空间的不同，是不是将来的抽象理论也必须有所不同？更进一步这样的不同是不是正好就是把经典策略的概率分布函数变成量子策略的密度矩阵？我们之前的研究证明，确实如此^[2]。

但是，还有一个问题：这样的新的策略的密度矩阵的形式的博弈，是必须的吗？

首先，理论上确实是必须的。但是，如果每一个密度矩阵形式的策略都存在着一个对应的纯策略，使得最后的收益完全一样，则实质上这个密度矩阵策略没有必要。因此，我们第一要讨论这个对应的问题：对于量子博弈，每一个密度矩阵形式的策略都存在着一个对应的纯策略，使得最后的收益完全一样？这一点，我们已经证明为否。第二、我们还必须证明，在某些量子博弈里面，纯策略均衡不存在、经典混合策略均衡也不存在，必须考虑密度矩阵形式的策略才有均衡。合起来，就证明了密度矩阵策略的必要性。

其次，除了理论上的研究，我们还需要关心：如果是实际的人来做量子系统的博弈，多大程度上，其决策可以用这个理论——密度矩阵形式的均衡——来描述呢？这样的被试可以是有很好的量子力学背景的或者是一般人。

实验设计

在实验方面，在量子系统状态的实现上，可以考虑用计算来模拟，或者连接量子计算机，例如[IBM Q]。连接IBM Q可以考虑用[ProjectQ]。

下一步的工作

1. 文献调研
2. 实验设计
   1. 理论研究：需要密度矩阵形式的均衡策略的博弈
   2. 真人实验：在复杂程度（存在纯策略均衡、存在简单混合策略均衡、只有密度矩阵均衡策略均衡）不同的量子博弈实验上，多大程度上，理论预期和实验相符，针对不同的实验对象。
3. 预实验
4. 实验

参考文献

引用错误：在<references>中以“Eisert:Game”名字定义的<ref>标签没有在先前的文字中使用。