分类:Measurement of risk attitude

The core question and some background

Risk attitude is quite often a relevant factor in many decision making games/situations. Thus often researchers need to use some kind of standard means to measure of the risk attitude of test subjects. One of these typical methods is the famous Holt&Larry 10 lottery experiment ^[1][2]: a test subject is asked to choose option A or option B in each of the ten lottery choices, which are shown in more details in the following table.

Option B always has larger variation then option A, however, starting with lower average payoff at the first lottery, average payoffs from option B gradually become higher than that of option A. To see this, we have added each column for difference between average payoffs of option A and option B and also for difference between variations of option A and option B.

For a risk neutral player, who cares only about the average payoff, it is clear that he/she will choose option A for the first 4 lotteries and will choose option B for the latter ones. That is transition point is likely at 4-5 for risk neutral players. Risk aversion players is likely willing to trade some payoff for less variation, thus seems to choose more secure options. In turn, this will make the transition point later than 4-5. Likely, risk seeking players will like to get a high risk option thus start to choose option with larger variations earlier than 4-5. In this sense, the transition point can be used as an indicator of risk attitude.

The underlying theory of Holt&Larry: Expected Utility Theory

This is a very good idea in general to use a set of lotteries to reveal risk attitude. However, there are quite several problems in the details of the above setup. For example, values of the probabilities, might be further adjusted to reach a better measurement. The current setup is related to an underlying theory, so-called Measures of risk aversion under expected utility theory, and in particular constant relative risk aversion (CRRA), where the utility of mixed options are [math]\displaystyle{ U\left(p_{A}|A\rangle \langle A|+p_{B}|B\rangle \langle B|\right)=p_{A}U\left(A\right)+p_{B}U\left(B\right) }[/math] while the utility of a pure option is [math]\displaystyle{ U\left(A\right)=\left[E\left(A\right)\right]^{1-r} }[/math]. Here [math]\displaystyle{ E\left(A\right) }[/math] is the monetary payoff of the pure option A.

Note that, ideally, [math]\displaystyle{ r }[/math] should be less than 1.

但是，这个有一个问题。这样测量出来的风险态度是把对均值更大的追求和对方差更大或者更小（或者说分布函数更加集中还是弥散）的追求合在一起的。有没有一个办法把追求均值和追求方差更大还是更小区分开来呢？

这个时候，就可以考虑对比两个均值一样但是方差不相同的选项，被试选择哪一个来测量被试是纯粹风险厌恶或者纯粹风险喜爱。还可以考虑两个方差一样但是均值不相同的选项，被试选择哪一个来测量被试是理性的有计算和理解能力的或者是由于某些原因（例如计算能力、理解能力）而造成的非理性的。当然，这其中还牵涉到一个就算能够理解和计算，但是不一定能够用于问题解决的因素，见知道到运用的距离。

前者这样的A、B选项很容易构造出来。后者实际上，概率匹配问题就是这样的A、B选项问题——方差一样，均值不同。

在这个研究中，我们就想看看，能不能在这个典型风险态度的测量实验的基础上，加上或者替换一些选项^[3]，能够把这样的纯风险厌恶护着喜爱程度、纯收益理性程度，也能够测量出来。

期望效用理论，或者修改以后得到的前景理论，是这个十项决定的测试的理论基础。^[4]期望效用理论的意思就是如果有两个选择A、B，各自得到的效用是[math]\displaystyle{ U\left(A\right) }[/math]、[math]\displaystyle{ U\left(B\right) }[/math]，则以一定的概率[math]\displaystyle{ P_{A} }[/math]、[math]\displaystyle{ P_{B} }[/math]实现这两个选项得到的合起来的收益就是[math]\displaystyle{ U=P_{A}U\left(A\right)+P_{B}U\left(B\right) }[/math]。在这个假设下，风险中性就可以这样来看，[math]\displaystyle{ U^{rn}\left(A\right)=\beta E\left(A\right) }[/math]，其中[math]\displaystyle{ E\left(A\right) }[/math]就是选项[math]\displaystyle{ A }[/math]的货币形式的收益。也就是说，风险中性的决策者仅仅关注货币收益的平均值[math]\displaystyle{ U=\beta\left(P_{A}E\left(A\right)+P_{B}E\left(B\right)\right) }[/math]。如果是风险厌恶的决策者，则[math]\displaystyle{ U^{ra}\left(A\right) \lt U^{rn}\left(A\right)=\beta E\left(A\right) }[/math]，也就是说具有不确定性的时候，A、B混合选项的平均收益要小于它们的货币形式的平均收益。对于风险爱好者，则正好相反，[math]\displaystyle{ U^{rs}\left(A\right) \gt \beta E\left(A\right) }[/math]。为了简化记号，以下采用[math]\displaystyle{ \beta=1 }[/math]。

这样的效用函数有一个很好的推论。我们来考虑：如果我们拿一个确定性的能够获得一份收益[math]\displaystyle{ E\left(C\right) }[/math]的选择，来和一个随机性的能够获得一个平均收益相同[math]\displaystyle{ P_{A}E\left(A\right)+P_{B}E\left(B\right)=E\left(C\right) }[/math]的选项来换，我们选择哪一个？如果是风险中性的，则两个选择完全等价。如果是风险厌恶的，则[math]\displaystyle{ U^{ra}\left(A, B\right) \lt U^{rn}\left(A,B\right)=P_{A}E\left(A\right)+P_{B}E\left(B\right)=E\left(C\right)=U\left(C\right) }[/math]。因此，选择选项C。如果是风险爱好的，则[math]\displaystyle{ U^{ra}\left(A, B\right) \gt U^{rn}\left(A,B\right)=P_{A}E\left(A\right)+P_{B}E\left(B\right)=E\left(C\right)=U\left(C\right) }[/math]。因此，选择选项（A,B）混合。

因此，这个“期望效用”理论——混合选项的效用是各自效用之和，风险态度不同的人的纯选项的效用函数绝对值不同——看起来是有合理之处的。

更深刻的动机

更进一步，为什么想度量出来纯风险厌恶或者喜爱程度、纯收益理性程度呢？

为了将来构建一个综合考虑了收益（均值）和风险（方差或者弥散程度的某种度量）的效用函数，以及一个基于这个效用函数的决策模型。另外，为了这个目的，我们还需要研究一下，风险用什么样的方式进入效用函数——是否用方差来代表是可以的。例如，我们可以让选项A、B的均值方差都一样，但是更高阶矩不同，然后做多次来看被试的选择是不是具有稳定的方向性——例如追求更高或者更低的高阶矩。

更一般地来说，对于一个混合决策[math]\displaystyle{ \rho }[/math]，例如[math]\displaystyle{ \rho=P_{A}\left|A\right\rangle\left\langle A\right|+P_{B}\left|B\right\rangle\left\langle B\right| }[/math]，我们可以算出开这个混合测略的均值、方差、高阶矩等等，或者至少，效用是这个混合测略的函数，[math]\displaystyle{ U=U\left(\rho\right) }[/math]，也有可能是[math]\displaystyle{ U=U\left(E\left(\rho\right),\Delta\left(\rho\right),\eta\left(\rho\right),\cdots \right) }[/math]。

两个理论基础的结合

现在如何把期望效用理论和分布函数的函数（其实是泛函）的数学形式相结合，以及从各阶矩的函数的角度来检验一下，到底函数形式如何，或者至少有哪些变量？这是一个有深远意义的问题。

广义地来看，如果我们允许分布函数的泛函包含货币收益的线性和非线性函数当作效用，则实际上，我们的框架包含了期望收益理论——期望收益相当于仅仅考虑一阶矩[math]\displaystyle{ E\left(\rho\right)=P_{A}U\left(A\right)+P_{B}U\left(B\right) }[/math]。因此，分布函数的泛函的讨论是更加基本的问题。

同时，许彬等人的预实验发现，风险态度——假设可以用一个参数[math]\displaystyle{ \theta }[/math]来描述的话，受到被试的认知负担的影响。因此，实际上，我们是在做关于[math]\displaystyle{ U=U\left(\left. E\left(\rho\right),\Delta\left(\rho\right),\eta\left(\rho\right),\cdots \right|\theta\right) }[/math]，或者说[math]\displaystyle{ U=U\left(\left. \rho \right|\theta\right) }[/math]的函数形式的研究。

实验设计

这个实验研究的主要工作就是看看增加或者替换为什么样的选项，能够在测量出来风险态度的基础上，还能够测量出来纯风险厌恶或者喜爱程度、纯收益理性程度。

例如可以加入：

1. 均值一样方差（分布函数弥散程度）不同的A、B选项，来看被试的选择
2. 方差一样，均值不同的A、B选项，来看被试的选择

下一步的工作

1. 文献调研，看看更多的风险态度测量的文章，以及风险态度在其他实验中对结果的影响的文献
2. 预实验，尝试多种选项调整的设计
3. 实验

参考文献