分类:统计检验的逻辑

来自Big Physics
Jinshanw（讨论 | 贡献）2018年2月22日 (四) 17:11的版本


这是对我们最近的一个关于统计检验的工作[1]的总结。

[2]讨论了统计检验的通常做法的逻辑问题。

一般来说，在统计检验中，给定数据[math]\displaystyle{ D }[/math]之后，我们想知道某个结果[math]\displaystyle{ H_{1} }[/math]正确的可能性，也就是我们想算出来[math]\displaystyle{ P\left(H_{1}|D\right) }[/math]。但是，一般来说统计检验是倒过来的，也就是算出来已经知道某个结论的情况下，产生的这个数据会怎样，也就是[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{0}\right) }[/math]，然后，认为当[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{0}\right) }[/math]很小的时候，[math]\displaystyle{ P\left(H_{1}|D\right) }[/math]很大。这确实是有问题的。

靠Bayesian公式，[math]\displaystyle{ P\left(H_{1}|D\right)=\frac{P\left(D|H_{1}\right)P\left(H_{1}\right)}{P\left(D|H_{1}\right)P\left(H_{1}\right)+P\left(D|H_{0}\right)P\left(H_{0}\right)} }[/math]。其中[math]\displaystyle{ H_{0} }[/math]就是[math]\displaystyle{ H_{1} }[/math]的否命题。于是，这个时候，我们需要以下四个量的值：[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{1}\right), P\left(H_{1}\right), P\left(D|H_{0}\right), P\left(H_{0}\right) }[/math]。如果我们的统计检验是考虑了所有的这四个量，然后再计算出来[math]\displaystyle{ P\left(H_{1}|D\right) }[/math]，则是没有任何问题的。当然，根据实际情况，有可能[math]\displaystyle{ P\left(H_{1}\right), P\left(H_{0}\right) }[/math]可以认为差不多，于是忽略。但是[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{1}\right), P\left(D|H_{0}\right) }[/math]都是要检验的。

可是，在大多数统计检验问题中，仅仅[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{0}\right) }[/math]是考察的目标。这确实是有问题的，正像[2]指出来的一样。但是，这仅仅表示统计检验的习惯用法有问题，不表示统计检验本身有逻辑问题。因此，[2]是没有理解背后的逻辑，所以，过头了。

当然，在[math]\displaystyle{ P\left(H_{0}\right)\approx 0.5 \approx P\left(H_{0}\right) }[/math]的条件下，我们可以仅仅对比[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{1}\right) }[/math]和[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{0}\right) }[/math]。更进一步，在不是非常特殊的情况下，如果[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{1}\right) }[/math]很小很小，则我们可以猜测[math]\displaystyle{ P\left(H_{0}|D\right) }[/math]比较大（这时候实际上是假设[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{1}\right)\ll P\left(D|H_{0}\right) }[/math]），反之也然。但是，要知道，这两个通常的统计检验所用的猜测都是不严格的，有好几个假设的。

我们最近的工作[1]指出来了这个细致的区别。将来还会写下来一个R语言统计检验的扩展包，来补充通常的统计检验：也就是在可能的情况下，这四个概率都要算出来，然后给出来最后算出来的[math]\displaystyle{ P\left(H_{1}|D\right) }[/math]。

Schneider做了一个新的回复[3]，说由于很多人不相信Bayesian公式，因此，上面的论证是不对的。确实，我承认如果Bayesian公式不允许使用，则假设检验是有问题的。但是，为什么要不允许使用Bayesian公式呢？Bayesian公式的基础只不过就是集合的并运算和概率的定义而已。不过，至少有一点Schneider和Wu是一致的，就是不能仅仅通过[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{0}\right) }[/math]很小来得到[math]\displaystyle{ P\left(H_{1}|D\right) }[/math]很大的结论，必须同时考虑[math]\displaystyle{ P\left(D|H_{1}\right), P\left(H_{1}\right), P\left(D|H_{0}\right), P\left(H_{0}\right) }[/math]。

参考文献

  1. ↑ 1.0 1.1 Wu, Jinshan (2018), Is there an intrinsic logical error in null hypothesis significance tests? Commentary on: “null hypothesis significance tests. a mix-up of two different theories: the basis for widespread confusion and numerous misinterpretations”, Scientometrics, https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11192-018-2656-3
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 Schneider, JW (2015), Null hypothesis significance tests. a mix-up of two different theories: the basis for widespread confusion and numerous misinterpretations. SCIENTOMETRICS, 102:411-432.
  3. ↑ Schneider, JW (2018), NHST is still logically flawed， Scientometrics, https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11192-018-2655-4

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