背景和动机

从传染病传播建模发展起来的再生数建模，实际上可以用在传染病研究之外的很多地方，只要是具有某种东西在“传播”的因素。当然，这也不是什么特别新的idea。例如，实际上，人口平均出生率就是一个人口上的再生数。在这里，我们把这个再生数建模的概念用到更多的现象上去。

再生数分析框架的核心公式就是，

1. 一个地方的感染者数量的增加是由于在这个地方的感染者再一次去感染其他人，也就是[math]\displaystyle{ I\left(t\right)=\sum_{\tau=0}^{\infty}I\left(t-\tau\right)R\left(t\right)w\left(\tau\right) }[/math]
2. 等价地，[math]\displaystyle{ R\left(t\right)=\frac{I\left(t\right)}{\sum_{\tau=0}^{\infty}I\left(t-\tau\right)w\left(\tau\right)} }[/math]

其中[math]\displaystyle{ I\left(t\right) }[/math]就是[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻增加的病人数量，[math]\displaystyle{ R\left(t\right) }[/math]是[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻的再生数，[math]\displaystyle{ w\left(\tau\right) }[/math]是一个被感染者在被感染之后[math]\displaystyle{ \tau }[/math]时间以后感染其他人的相对概率。

如果我们进一步区分输入性病人，一代病人（被输入性病人感染的本地人），和二代以及以上病人（被一代以及以上本地病人感染的本地人），则

1. 特定城市输入病人（称为零代病人）的一代感染者数量[math]\displaystyle{ I^{1}\left(t\right)=\sum_{\tau=0}^{\infty}I^{0}\left(t-\tau\right)R_{0}^{1}\left(t\right)\omega\left(\tau\right) }[/math]
2. 本地城市二代以及二代以上以上感染者数量[math]\displaystyle{ I^{2+}\left(t\right)=\sum_{\tau=0}^{\infty}\left(I^{1}\left(t-\tau\right)+I^{2+}\left(t-\tau\right)\right)R_{1+}^{2+}\left(t\right)w\left(\tau\right) }[/math]

相应的再生数为，

1. [math]\displaystyle{ R_{0}^{1}\left(t\right)=\frac{I^{1}\left(t\right)}{\sum_{\tau=0}^{\infty}I^{0}\left(t-\tau\right)\omega\left(\tau\right)} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ R_{1+}^{2+}\left(t\right)=\frac{I^{2+}\left(t\right)}{\sum_{\tau=0}^{\infty}\left[I^{1}\left(t-\tau\right)+I^{2+}\left(t-\tau\right)\right]w\left(\tau\right)} }[/math]

只要把这里的被感染者数量[math]\displaystyle{ I\left(t\right) }[/math]改成任何具有传染性（传播性）的东西的数量，就可以把这一套分析方法用于相应的现象的研究。

用于论文的传播（被引和被阅读）

在这里，我们考虑一篇论文

用于网上消息（谣言、评论、声誉）的传播

用于概念或者技术发明的传播

用于时尚的传播