数学思维，就是数学这个学科的研究者在提出问题和解决问题、发展学科的时候的典型思维方式和典型分析方法。

在这里，我们对数学是什么，数学家是如何提出和解决问题的，做一个总结。做这个总结的原因是，学习数学的目的，就是为了像数学家一样提出和解决问题，发展和运用数学。

下面的总结综合来自于^[1]、^[2]。

跨数学分支的通用部分

数学是思维的语言

数学给思维提供了记号，可以做记录，不用都放在脑子里面，这样可以增加思考的深度，多想几步。 数学给思维提供了素材：数学结构以及数学结构的名称，是对常用的典型思维结构的提炼，可以帮助我们做更高阶的这些结构基础之上的思考。 数学的明确的通用的定义和公理，方便交流。

数学是描述世界的语言

一方面，数学概念的提出受到现实的启发，因此所提炼出来的数学结构可以用于描述现实也是很自然的事情。 另一方面，人们企图通过思考去描述世界，而数学是思维的语言，因此，数学自然就成了描述现实的语言，于是数学也就成了物理化学这样的自然科学甚至经济管理这样的社会科学的语言。 但是，原则上，数学只关注在给定公理和定义的基础上，后面建立的数学结构是否是逻辑上自洽的，是否可以通过演绎逻辑和数学计算（本质上是演绎逻辑的形式化）来证明的。

数学是研究关系的学科

所谓的结构，实际上，就是对象和这些对象之间的某种关系构成的一个可以重复使用，用来表达思考和描述世界，的模式。因此，数学是研究关系的学科。

抽象是数学的核心思维

抽象就是找到和保留不同对象之间的相同的模式，忽略那些不同的细节的过程。抽象的结果，也就是被保留下来的模式就是数学结构。抽象可以反复嵌套地使用，从而可以从最具体的数学对象，或者说这个世界的具体事物或者人脑中的这个具体事物的接近实际的表示，走到最抽象的数学结构。

证明和计算是数学最重要的论证方式

表示是数学结构的目标和研究方式

分解是数学结构研究的典型方式

数学的系统性，层次性和跨越层次的联系

数学结构之间的关系，数学结构和现实启发的关系，公理（基本假设）、定义和定理以及定理的证明之间的关系，使得整个数学是一个紧密结合的系统。这样的系统性，有助于学习、运用和发展数学。

出于对更加复杂的系统更加复杂的思考的描述的需求，数学结构之间存在上层次性关系，也就是说，有些数学结构更加具有通用性，有些数学结构是在这些更加具有通用性的概念的基础上出现的和定义的。

由于有了数学结构之间的层次性关系，从一个领域的对象中提炼出来的数学结构，往往具有描述另一个领域的对象的能力。而这个时候，背后的原因也往往是两个领域的对象，其所包含的内部元素具有类似的关系。

变换和不变量的思想

适用于具体分支的部分

极限的概念

连续的概念

参考文献