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分类:等式

2024-02-28T14:52:51Z

Xiangcao：

[[分类:表达式]]
[[分类:相等]]

=定义和含义=
等式，指的是中间有等号，等号两边有运算符号和数的[[:分类:表达式|表达式]]，或者算式<ref name=Wu:XXSX/>。

形如 <math> 1 + 1 = 2 </math> 的式子。

等式，就是一个[[:分类:相等|相等]]的关系的表达，表示等号 "<math> = </math>" 的左边和等号 "<math> = </math>" 的右边，在共同[[:分类:单位|单位]]的度量下，数量关系相等。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
我们在做[[:分类:运算|运算]]的时候, 总是用等号 (“<math> = </math>”) 来把算式连起来,表示前后两步之间得数不变。因此, 对于一个等式, 我们总是有这个等式的左边，也就是等号 (“<math> = </math>”) 的左边，有等式的右边，也就是等号 (“<math> = </math>”) 的右边, 还有这个等式的值。一般来说, 左边和右边的形式看起来不一样, 但是值不变<ref name=Wu:XXSX/>。

等式在[[:分类:算术|算术]]上，几乎是无处不在的，因为在算术中我们基本上都是研究数量上的相等的关系。在[[:分类:代数|代数]]中，我们研究的[[:分类:方程|方程]]、[[:分类:函数|函数]]等等，以及很多的[[:分类:证明|证明]]，凡是需要表达相等关系的地方，都少不了等式。当然，我们也有很多时候会有需要表达不相等的关系的时候，那时候就需要[[:分类:不等式|不等式]]。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:乘法分配律

2023-12-01T03:54:42Z

Xiangcao：

[[分类:分配律]]
[[分类:乘法]]
[[分类:四则运算律]]

=定义和含义=
乘法分配律，指的是，乘法对加法的分配律，简称"乘法分配律"，对于任意三个数<math> a,b,c </math>,我们可以有:
<div style="text-align:center;"><math> a \times(b+c)=(b+c)\times a=a \times b+a \times c </math> </div>
=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
我们用数苹果当例子，基于加法，来理解乘法对加法的分配律。我们有2大堆苹果要数一数，其中每一个大堆包含两个小堆，这两个小堆分别有3个和4个苹果。一种方法就是先数好每个大堆多少个，然后把2个大堆再一次合起来数一数，也就是等式左边的算式。另一种方法就是把大堆拆开，把相同大小的小堆合在一起构成新的大堆，得到两个大堆分别是2个苹果数量为3的小堆和2个苹果数量为4的小堆，合起来数一数就是等式右边的算式。这个过程中，苹果的数量没有增加也没有减少，所以相等<ref name=Wu:XXSX/>。

注意, 乘法对加法的分配律, 左右侧都成立, 也就是:
<div style="text-align:center;"><math> (b+c) \times a=a \times(b+c)=a \times b+a \times c=b \times a+c \times a </math></div>
但是，当我们把除法看作乘法，用上分配律的时候，我们只有除法对加法的右侧分配律:
<div style="text-align:center;"><math> (b+c) \div a=(b+c) \times \frac{1}{a}=b \times \frac{1}{a}+c \times \frac{1}{a}=b \div a+c \div a </math></div>
另外，我们也发现，我们没有必要给除法提出单独的运算律，而是通过把除法转化为乘法来借用乘法的运算律。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:乘法分配律

2023-12-01T03:52:59Z

Xiangcao：

[[分类:分配律]]
[[分类:乘法]]
[[分类:四则运算律]]

=定义和含义=
乘法分配律，指的是，乘法对加法的分配律，简称"乘法分配律"，相当于对同样类型的乘法加起来一起运算。

学习了代数以后，我们可以这样表示，也就是，对于任意三个数<math> a,b,c </math>,我们可以有:
<div style="text-align:center;"><math> a \times(b+c)=a \times b+a \times c </math> </div>

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
我们用数苹果当例子，基于加法，来理解乘法对加法的分配律。我们有2大堆苹果要数一数，其中每一个大堆包含两个小堆，这两个小堆分别有3个和4个苹果。一种方法就是先数好每个大堆多少个，然后把2个大堆再一次合起来数一数，也就是等式左边的算式。另一种方法就是把大堆拆开，把相同大小的小堆合在一起构成新的大堆，得到两个大堆分别是2个苹果数量为3的小堆和2个苹果数量为4的小堆，合起来数一数就是等式右边的算式。这个过程中，苹果的数量没有增加也没有减少，所以相等<ref name=Wu:XXSX/>。

注意, 乘法对加法的分配律, 左右侧都成立, 也就是:
<div style="text-align:center;"><math> (b+c) \times a=a \times(b+c)=a \times b+a \times c=b \times a+c \times a </math></div>
但是，当我们把除法看作乘法，用上分配律的时候，我们只有除法对加法的右侧分配律:
<div style="text-align:center;"><math> (b+c) \div a=(b+c) \times \frac{1}{a}=b \times \frac{1}{a}+c \times \frac{1}{a}=b \div a+c \div a </math></div>
另外，我们也发现，我们没有必要给除法提出单独的运算律，而是通过把除法转化为乘法来借用乘法的运算律。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:数轴

2023-12-01T03:49:59Z

Xiangcao：

[[分类:实数]]
[[分类:直线]]

=定义和含义=
数轴，指的是，一根带有[[:分类:零|零点]]的，有正方向的，可以表示[[:分类:实数|数]]的[[:分类:直线|直线]]<ref name=Wu:XXSX/>。
[[File:ShuZhou.png|300px|thumb|right|数轴]](图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)
=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
先说在前面，数轴这个概念是非常重要的，一旦[[:分类:实数|数]]和[[:分类:点|点]]可以一一对应起来，而且数轴上的点的[[:分类:集合|集合]]可以代表某个范围内的所有的数，是非常深刻的，代表了[[:分类:代数|代数]]和[[:分类:几何|几何]]的统一<ref name=Wu:XXSX/>。

==数轴的正方向、零点和单位长度==
数轴为什么要有正方向呢？因为数是有序的，规定一个正方向后，才能有序的把数放到数轴上。

数轴为什么要有零点呢？因为0是数的一个重要的分类点，无论是哪个数集的数，都可以由零分成[[:分类:正数|正数]]和[[:分类:负数|负数]]；而且，零还是自然数的起点，这是我们一开始对数的认识。

数轴上的单位长度，或者说是刻度，是我们可以人为规定的，我们可以根据我们要讨论的对象，定义为任意刻度。

==有理数在数轴上的表示==
这部分内容，如果你知道了[[:分类:有理数|有理数]]的含义，那么你就可以跳过"整数在数轴上的表示"和"有限小数在数轴上的表示"部分，直接看"由整数构成的分数在数轴上的表示"部分。

如果你还不知道有理数，没关系，"整数在数轴上的表示"的部分你是可以看懂的，后面的慢慢随着学习再来理解吧！

===整数在数轴上的表示===
[[:分类:整数|整数]]在数轴上的表示，是我们最早接触的数在数轴上的表示。我们很早就从身边的刻度尺上发现整数是可以有序的表示在一根有零点有正方向的直线上的。

一旦我们把[[:分类:一|1]]规定为数轴的单位长度，那么相邻的两个数之间的间隔就是1。于是[[:分类:自然数|自然数]]就是从零开始，以1为单位长度表示在数轴上的数。如果从1开始，以1为单位长度表示在数轴上的数，就是正整数。这时候，这些正整数的相反数就是以零为对称中心的数，也就是零左边的那些整数，称为负整数。

于是，在我们定义了以1为单位长度后，我们就可以把所有的整数表示在数轴上。

===有限小数在数轴上的表示===
有了整数在数轴上的表示，这部分内容仅仅是增加了[[:分类:小数|小数]]的内容，你很容易看懂的。

假设我们可以把一段线段平均分成几分。那么，小数在数轴上的表示就很简单。因为小数不过就是带小数点的[[:分类:进制系统|十进制]]的整数表示，只不过对于整数部分来说，数位的增加意味着所表示的数的增大，对于小数部分来说，数位的增加意味着所表示的数的减小。

所以对于小数而言，如果我们要表示小数部分是一位的小数，只不过就是把刻度为1的整数数轴，每一个刻度再平均分为10份，每一个单位长度表示0.1 。如果是要表示小数部分是两位的小数，那么就是再一次把单位长度为0.1 的刻度再分为10份，以此类推，仅此而已。

===由整数构成的分数在数轴上的表示===
[[File:RenYiFenShuZaiShuZhouShangDeDuiYingDian.png|300px|thumb|right|任意分数在数轴上的对应点]](图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)
这部分是统一了上面的两部分，而且增加了对于[[:分类:无限循环小数|无限循环小数]]的表示的部分。为什么？这时候你就要去思考由整数构成的[[:分类:分数|分数]]能够表示哪些数？它可以是整数，只要你把分母变成1，这个分数的值就是分子的值；它可以是无限循环小数，这部分我们在小数和分数的内容作过解释；它可以是有限小数，因为有限小数可以看作是循环数是零的无限循环小数，这部分我们在小数的内容作过解释。那么，只剩下了[[:分类:无限不循环小数|无限不循环小数]]，因为无限不循环小数属于[[:分类:无理数|无理数]]，这个在无理数的表示部分讨论。

分数在数轴上的表示，我们回到分数的含义来思考。分数，就是把分母看成是一个整体，因此分数就是看分子的部分占这个整体的多少。

我们取数轴上的一个点A使得OA的长度为<math> p </math>；同时过O点作数轴的垂线，规定向上为正方向，然后选择这个垂线上的一个点B使得OB的长度为<math> q </math>；接着选择垂线上的一个点D使得OD的长度为1；过D点作AB的平行线CD，与数轴的交点C就是<math> \frac{p}{q} </math>的位置。

这里，其实用到的是相似三角形的性质，也就是[[:分类:相似三角形|相似三角形]]的对应边成比例，我们有：
<div style="text-align:center;"><math>\begin{aligned}
\overline{O C}: \overline{O A} & =\overline{O D}: \overline{O B} \\
& \Rightarrow \frac{\overline{O C}}{p}=\frac{1}{q} \\
& \Rightarrow \overline{O C}=\frac{p}{q}
\end{aligned}</math></div>

在上面的过程，我们使用的是字母来讨论，于是，我们知道了所有由整数构成的分数都可以表示在数轴上。这是就是[[:分类:代数的思想|代数的思想]]的威力，就是[[:分类:抽象|抽象]]的威力！

另外，无限循环小数都可以表示成分数，而且是整数构成的分数，因此只要把无限循环小数转化为分整数构成的分数，就可以用上面的方法表示。

==无理数在数轴上的表示==
[[File:GenHao2ZaiShuZhouShangDuiYingDeDian.png|300px|thumb|right|根号2在数轴上对应的点]](图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)
我们先来想一下无理数的含义，不是有理数的数，也就是不能由两个整数写成分数的形式的数<ref name=Wu:XXSX/>，或者是不能够写成两个整数之比的形式的数<ref name=Wiki/>。

我们来看一个常见的无理数，<math> \sqrt 2 </math>。

<math> \sqrt {2} </math>可以是边长为1的正方形的对角线。我们以数轴上的0到1为其中一条边，画出一个正方形。然后，基于圆的定义，使用画圆的方法(也就是使用圆规)，以零点为圆心，以正方形的对角线为半径，画出一个圆。此时圆和数轴的交点，就是距离零点有<math> \sqrt 2 </math>的距离的点。所以，那个点就是数轴上的<math> \sqrt 2 </math>的点。

这里，你验证了无理数也是可以表示在数轴上的，也就是无限不循环小数也可以在数轴上表示。
==数轴上的数==
至此，[[:分类:有限小数|有限小数]]，[[:分类:无限不循环小数|无限不循环小数]]和[[:分类:无限循环小数|无限循环小数]]都表示在数轴上了，而且我们可以通过这样的思考，小数分为有限小数和无限小数(二分法，严格分类)，无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数(二分法，严格分类)。所以我们没有漏掉任何小数，又因为分数可以表示为小数，整数也可以表示为小数。于是，如果我们把数轴上的数都看作是小数的话<ref name=Wu:XXSX/>，那么数轴就已经被小数填满了。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
<ref name="Wiki">Wikipedia，维基百科</ref>
</references>

文件:ShuZhou.png

2023-12-01T03:49:29Z

Xiangcao：

分类:三维空间

2023-12-01T03:40:51Z

Xiangcao：

=定义和含义=
三维空间是指具有三个维度的空间。在数学中，它可以被描述为一个无限大的[[:分类:集合|集合]]，其中每个点都有一个三元组(x,y,z)表示它在空间中的位置。这三个数分别表示该点在水平方向、垂直方向和深度方向上的位置，通常用笛卡尔坐标系来表示。

=辅助理解的解释=
直观理解，如果平面有了厚度，例如很多页纸合起来的一本书，那么，我们称它为三维空间、三维体。

分类:乘法交换律

2023-12-01T02:44:37Z

Xiangcao：

[[分类:交换律]]
[[分类:乘法]]
[[分类:四则运算律]]

=定义和含义=
乘法交换律，指的是，两个数相乘时，两个数的顺序可以交换而不会改变乘积的结果。

在有了[[:分类:代数的思想|代数的思想]]以后，我们可以这样表示，也就是，对于任意两个数 <math> a </math> 和 <math> b </math> , 我们可以有 :
<div style="text-align:center;"><math> a \times b=b \times a </math></div>

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
[[file:ChengFaJiaoHuanLvShuPingGuo.png|500px|thumb|right|乘法交换律的例子1]]
从[[:分类:乘法|乘法]]的含义一一同一个数的多次[[:分类:加法|相加]]的简便计算, 我们知道, <math> 4 \times 3 </math> 可以看作是 4 堆东西, 其中每一堆都是 3 个, 合起来数一数, 也可以看作是 3 堆东西, 其中每一堆都是 4 个,合起来数一数, 并且两者之间可以转化。例如, 我们可以这样做：在第一种, 也就是 4 堆每一堆 3 个的情况下, 从每一堆里面取出来一个组成新的一堆, 直至原堆取完。这样新的每一堆的大小就是 4 个, 总共 3 堆, 如图1所示。我们仅仅改变了[[:分类:数数|数数]]的方式, 不改变总的数量。于是, 从加法的含义和乘法的含义, 我们得到乘法的[[:分类:交换律|交换律]], <math> 3 \times 4=4 \times 3 </math> 。更一般地, 乘法交换律记作<math> a \times b=b \times a </math><ref name=Wu:XXSX/>。

我们还可以把上面的好几堆同样的大小的堆相加的情形排列成一个方形队伍的形状。如图2所示,我们从两个角度来看这个排好的方形队伍:一行一行来看，我们每一行有4个苹果，总共有3行;一列一列来看，我们每一列有3个，总共有4列<ref name=Wu:XXSX/>。
[[file:ChengFaJiaoHuanLvShuPingGuo2.png|500px|thumb|right|乘法交换律的例子2]]
(图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:乘法结合律

2023-12-01T02:44:29Z

Xiangcao：

[[分类:结合律]]
[[分类:乘法]]
[[分类:四则运算律]]

=定义和含义=
乘法结合律，指的是，在进行多个数的[[:分类:乘法|乘法]]运算时, 相乘的数的组合方式(也就是使用[[:分类:括号|括号]]让哪些数组合起来先进行运算)不会影响乘积的结果。

有了[[:分类:代数的思想|代数的思想]]以后，我们可以这样表示，也就是，对于任意三个数 <math> a, b , c </math> ，我们从乘法结合律可以有，无论是先乘 a 和 b 再乘以 c ，即 <math> (a \times b) \times c </math> ，还是先乘 b 和 c 再乘以 a ，即 <math> a \times(b \times c) </math>，得到的乘积都是一样的，也就是:
<div style="text-align:center;"><math> (a \times b) \times c =a \times(b \times c)</math></div>

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
[[file:ChengFaJieHeLvShuPingGuo.png|500px|thumb|right|乘法结合律的例子]](图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)

比如说，我们在一个箱子里面装上 2 层这样的苹果。按照每一层来计算苹果的数量, 然后再来看有几层, 我们可以得到苹果数量的表达式 <math> (4 \times 3) \times 2 </math> 一一先把每一层的苹果数量算出来, 然后再计算两层的总数量。我们还可以按照图的右侧的透视图来计算, 先计算每一个看到的侧面的苹果的数量, 然后再来计算有几个这样的侧面, 从而得到苹果的总数量, 也就是 <math> 4 \times(3 \times 2) </math> 。因此, 我们看到, 乘法的结合律的根源还是加法的含义一一合起来[[:分类:数数|数一数]]。

那为什么[[:分类:乘法|乘法]]的[[:分类:结合律|结合律]]是对的? 理由是，这本身是从乘法的含义得到的，因为乘法本身是重复的加法，而加法本身的含义不过就是"合起来数一数"，而合起来数一数这件事情, 不管是什么样的顺序, 都会得到相同的结果<ref name=Wu:XXSX/>。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:加法结合律

2023-12-01T02:44:22Z

Xiangcao：

[[分类:结合律]]
[[分类:加法]]
[[分类:四则运算律]]

=定义和含义=
加法结合律，如果我们有三个(或者三个以上)数的[[:分类:加法|加法]]，我们可以按照顺序算，把前两个先加起来，然后把得到的数加上第三个数，我们还可以先把后两个加起来，然后，再把得到的数和第一个数加起来<ref name=Wu:XXSX/>。最后，两种方法得到的结果是相同的。

在有了[[:分类:代数的思想|代数的思想]]以后，我们可以这样表示，也就是对于任意三个数a、b和c, 有:
<div style="text-align:center;"><math> a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) </math></div>

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
举个例子，先数两个苹果后继续数三个苹果，然后再数四个苹果；和先数三个苹果后继续数四个苹果，然后再数两个苹果，最后数出来的苹果的总数是相等的，也就是 <math> (2+3)+4=5+4=9,2+(3+4)=2+7=9 </math>。

那为什么加法的[[:分类:结合律|结合律]]是对的? 理由同样是加法的含义。当我们要计算三个数的加法的时候, 表示我们要把这三个数每一个数所代表的东西的数量合起来[[:分类:数数|数一数]]。合起来数一数这件事情, 不管是什么样的顺序, 都会得到相同的结果<ref name=Wu:XXSX/>。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:加法交换律

2023-12-01T02:44:13Z

Xiangcao：

[[分类:交换律]]
[[分类:加法]]
[[分类:四则运算律]]

=定义和含义=
加法交换律，代表把需要加起来的两个数所代表的东西，合起来[[:分类:数数|数一数]]，和数的顺序没关系。

也就是说，先数一数第一个数所代表的东西的数量，然后接着数第二个数所代表的东西的数量，还是反过来，先数一数第二个数所代表的东西的数量，然后接着数第一个数所代表的东西的数量结果都一样。

因此[[:分类:加法|加法]]具有[[:分类:交换律|交换律]]，并且加法有交换律完全是加法的意义导致的。在有了[[:分类:代数的思想|代数的思想]]以后，为了表示更加一般的适用于任何两个数的交换律，我们用字母表示<ref name=Wu:XXSX/>:
<div style="text-align:center;"><math> a+b=b+a </math></div>

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
举个例子，先数三个苹果后数两个苹果，和先数两个苹果后数三个苹果，最后数出来的苹果的总数是相等的，也就是<math> 2 + 3 = 3 + 2 </math>。

加法交换律允许我们以最方便的方式组织数字，有时候可以简化计算。同时，加法交换律是我们和交换律的第一次见面，随着数学学习的深入，你会不断重新认识交换律。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:随机变量

2023-11-30T16:42:51Z

Xiangcao：

=定义=
随机变量指的是这样的变量<math>x</math>，其往往用于描述某个事物的状态<math>\omega</math>，而这些状态在重复同样的制备和同样的测量的条件下，会得到不同的测量结果。当然，广义上，我们也可以把确定性的每次得到结果相同的那种变量看做随机变量。因此，上面这个随机变量的定义，更多的是说，存在者超越确定性变量的可能。

当我们需要把事物的状态<math>\omega</math>和用来代表事物的状态的数学对象<math>x</math>之间的联系明确指出来的时候，我们也用<math>x\left(\omega\right)</math>来指代一个随机变量。原则上，这个数学对象可以是一个实数（或者其子集），可以使多个实数构成的向量、矩阵、张量或者更加复杂的结构。

附注1：同样的制备和同样的测量，指的是，我们用同样的流程来生产这个事物或者得到这个事物的状态，然后把这个制备出来的事物放到同样的测量仪器中做步骤相同的测量。

附注2：原则上，我们可以进一步追问，这样的超越确定性的状态是否真的存在，还是说，经过看起来“同样的制备和同样的测量”的事物表现出来不同的测量结果，但是，实际上，是因为我们不能保证这些事物确实经过了完全相同的制备和测量。

附注3：这里的对同一类事物的不同对象做同样的制备和同样的测量过程，有的时候被叫做重复测量，其含义是重复多次独立的测量。有另一种重复测量，在同一个对象上前后多次做同样的测量，被称为前后多次重复测量。

==更基本的概念==
===制备、测量、多次重复测量、前后多次重复测量===

在本课程中，在数学的概念范畴内，这些概念用日常语言表示。在物理的概念范畴内，它们可以被定义和数学化。

===随机性、随机状态和随机变量之间的关系===

在这里，我们实际上把这三个概念放在一起来定义和解释了。但是，原则上，随机性指的是一个事物的对象具有上面解释的随机变量的性质，也就是在相同的制备和测量下仍然显示不同的结果；随机状态指的是这个具有随机性的状态，不管这个状态的数学结构；随机变量指的是用来描述这个随机状态的数学结构。

=举例=
例如，我们一次次抛出一个硬币（或者同时抛出很多个硬币，或者很多个人每个人独立抛出一个硬币），每次得到的结果肯定是向上（图形）或者向下（数字）的状态之一，但是在观测每次的结果之前，我们只能说，这次的结果既可能是向上也可能是向下。

例如，我们一次次扔出一个六面的骰子，每次得到的结果肯定是编号为1,2,3,4,5,6的面之一，但是，在观测到结果之前，我们只能说，六面中的任何一面都有可能是这次的结果。

例如，一个人的身高，用尺子去做测量，会发现，其实不同的日子，甚至同一天的上中下午，都会略有不同，甚至，完全由于尺子的精度有限我们不得不做一些估计，或者不能保证每次测量完全垂直于地面和以及视线完全和头顶到尺子的线平行，也会导致不一样的测量结果。

对于上面的两个例子，如果我们保证每次抛出的角度和速度，空气阻力，地球引力等因素都完全一致，则，实际上，最终的硬币的或者骰子的状态是完全确定的（假设测量误差足够小，完全可以区分上和下、1-6）。因此，这样的随机性可以看做是信息不完全，或者说制备过程并不是完全相同，导致的随机性。有的时候，这样的随机性也被称为伪随机性。于是，真随机性指的就是在完全相同的制备和测量下，仍然表现出来不同测量结果的随机性。但是，是否存在这样的具有真随机性的现实世界的对象呢？这是个问题。

对于身高的例子，被测量系统具有一定的由于信息不完全导致的随机性。如果我们完全知道不同的日子、同一天的上下中午是如何影响身高的，则这部分其实不再具有这个意义上的信息不完全导致的随机性。但是，这个时候，我们还是可以忽略这些把不同的日子、同一天的上中下午等因素，强行把这些不同条件下测量得到的结果都看做是同一个随机变量在不同次的测量下得到的结果，则，我们合起来的数据之中，仍然包含了随机性——把多个不同条件下获得的数据混合起来忽略其条件的不同导致的随机性。这其实仍然可以看作是信息不完全导致的随机性。不过，前者是被动的，也就是本来就搞不清楚或者成本太高搞不清楚这些不同条件是什么；后者是主动的，也就是分析数据的人根据分析任务的要求认为没有必要搞清楚或者甚至搞得清楚去也没有必要区分这些不同条件。

对于身高的例子，我们还有测量带来的随机性。当然，原则上，硬币和骰子的例子也有测量带来的随机性，不过我们假设这个时候测量的随机性带来的不确定程度不会影响我们对于离散程度如此之高的状态的区分，也就是把上看做下，把编号1的面看做编号3，等等。

因此，随机性，原则上，可以有系统本身的内秉随机性，主动和被动信息不完全导致的随机性，测量带来的随机性。在有的问题中，我们需要区分这些随机性，有些问题中我们不区分这样的随机性。将来我们遇到这样的例子的时候，再来补充。

分类:分布函数

2023-11-30T16:42:42Z

Xiangcao：

[[分类:概率论]]
[[分类:函数]]
[[分类:统计分析]]

=定义和含义=
分布函数，指的是，描述随机变量取值的[[:分类:概率|概率]][[:分类:函数|函数]]。一般来说，它指代的是累积分布函数<ref name=Wiki/>，也就是，对于一个随机变量 <math> X </math> 其分布函数 <math> F(x) </math> 表示随机变量 <math> X </math> 取值小于或等于 <math> x </math> 的概率。数学上, 对于任意实数 <math> x </math> , 累积分布函数定义为:
<div style="text-align:center;"><math>F(x) = P(X \leq x)</math></div>

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
分布函数能够有效让你看到随机变量的分布情况，对全部的随机变量的分布能有一个总体的把握，从而帮助你去更进一步思考在统计中的数学建模或者去使用的数学模型应该如何选择，为后续的[[:分类:统计分析|统计分析]]提供基础的数据参考。

<references>
<ref name="Wiki">Wikipedia，维基百科</ref>
</references>

分类:概率三元体

2023-11-30T16:42:19Z

Xiangcao：

=定义=

概率三元体<math>\left(\Omega, \mathcal{F}, P\right)</math>包含事件集合<math>\Omega</math>、事件集合上满足下列要求的[[:分类:σ代数|σ-代数]]<math>\mathcal{F}</math>，
# <math>\Omega{\in}\mathcal{F}</math>；
# 若<math>A{\in}\mathcal{F}</math>，则<math>\bar{A}{\in}\mathcal{F}</math>；
# 若<math>A_{i}{\in}\mathcal{F}</math>，<math>i=1,2,...</math>，则<math>\bigcup_{i}A_i{\in}\mathcal{F}</math>
以及，从<math>\mathcal{F}</math>到<math>\left[0,1\right]</math>的满足下列要求的映射<math>P</math>，
# <math>P\left(\Omega\right)=1</math>
# <math>P\left(\cup_{i} A_{i}\right)=\sum_{i}P\left(A_{i}\right)</math>，其中<math>A_{i}\cap A_{j}=\Phi</math>，<math>\forall i,j</math>

其中<math>\mathcal{F}</math>的第一条要求保证了我们可以问——一个随机变量测量完了得到的结果是所有可能的结果的集合中的一个元素的概率是多少——这个问题，而<math>P</math>的第一条保证了这个概率是1。

其中<math>\mathcal{F}</math>的第二条要求保证了我们可以问——如果已知某个事件出现的概率，这个事件不出现的概率是多少——这个问题，而<math>P</math>的第二条保证了这两个概率之和是1。

其中<math>\mathcal{F}</math>的第三条要求保证了我们可以问——如果已知某些完全不重叠的事件出现的概率，则这些个事件合起来出现的概率是多少——这个问题，而<math>P</math>的第二条保证了后者的概率是前者每一项的概率之和。最后这一条，也被称为是概率的线性性，或者可列可加性。

在一个概率场景中，哪些问题是我们有权利去问的，因此也就是一个理论需要给出来的，这是对概率的最主要的抽象，也被称为封闭性。

有了概率三元体，我们可以从数学的角度来定义[[:分类:随机变量|随机变量]]。随机变量是从满足上面的要求的事件集合<math>\Omega</math>到<math>\mathcal{R}^{n}</math>的映射<math>X</math>，或者有的时候我们也把这个映射的结果，也就是像<math>x\left(\omega\right)</math>，称为随机变量。

==更加基础的概念==
可数性（可列性）、线性性、测度空间、σ-代数

=举例=

用概率三元体的语言表述硬币正反面的例子、骰子的例子、约会时间的例子。

概率三元体的语言如何解决圆内弦长的问题。

=教和学的注=

这个概念比较抽象，初学者不太容易理解到位，尽管搞清楚每一条定义的动机之后就更容易理解了。不过，首先，这是值得去理解的人类的伟大创造之一，更可以从中学会数学的最重要的思维方式之一——抽象。

其次，只要把握了整体思路其实也就差不多了：
# 依赖于基本事件和等概率性的古典概型有问题，不够用，
# 存在着一个公理化的定义，概率依赖于事件集合、集合上的σ-代数、从σ-代数到[0,1]的映射这三个东西，
# 在公理化定义中，最核心的两条就是封闭性和线性性（可列可加性）。

分类:割补

2023-11-30T16:31:46Z

Xiangcao：

[[分类:几何]]

=定义和含义=
割补，指的是，在[[:分类:几何|几何]]中解决不规则图形的问题的一种方法，可以被分为割和补两个过程。其中，割，指的是，把一个不规则的图形切割为几个熟悉或者已知的规则的图形；然后，补，指的是，把切割下来的图形补充到合适的地方让整个图形呈现出比原来更规则的图形。

=层次标注=
在这里，它属于第三层知识，即学科大图景，是针对几何部分，尤其是面积的计算部分的典型分析方法。

=辅助理解的解释=
割补这个方法其背后其实就是[[:分类:分解和综合的思想|分解和综合的思想]]在直接指导。通过割补，可以将复杂的图形转换成更简单的形状，或将图形重新组合，从而使问题的解决变得更容易。其实，一定程度上来说，也是[[:分类:化归的思想|化归的思想]]在体现，因为我们把复杂的或者新面对的几何图形化归到了已知的熟悉的几何图形上，帮助我们降低了认知负担。

<references>
</references>

分类:运算符号

2023-11-30T16:22:56Z

Xiangcao：清空全部内容

分类:逆元

2023-11-30T16:21:49Z

Xiangcao：

[[分类:数学结构]]
[[分类:运算]]

=定义和含义=
逆元，指的是，在某种操作或者运算下，能够与给定元素<math> a </math>进行操作或者运算后产生[[:分类:单位元|单位元]]的元素<math> b </math>，此时元素<math> a </math>和元素<math> b </math>互为逆元。

也就是说，我们如果给定给定一个集合<math> S </math>，在这个集合上定义一个运算"<math> \circ </math>"，如果 <math> I </math> 是这个集合S上运算"<math> \circ </math>"的单位元，那么 <math> \forall a \in S </math>，有<math> \exists b \in S </math>，我们有 <math> a \circ b = b\circ a = I </math>，我们就称元素<math> a </math>和元素<math> b </math>互为逆元。
=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在实数集中的[[:分类:加法|加法]]运算上，逆元就是寻找一个数的[[:分类:相反数|相反数]]，因为任何数加上他的相反数都等于0([[:分类:加法单位元|加法单位元]])。在实数集中的[[:分类:乘法|乘法]]运算上，逆元就是寻找一个数的[[:分类:倒数|倒数]]，因为任何数乘上他的倒数都等于1 ([[:分类:乘法单位元|乘法单位元]])。

现在，你对于[[:分类:运算|运算]]，是不是有了新的理解？或者是有没有看到在更抽象的层面，运算的统一性。

<references>
</references>

分类:逆元

2023-11-30T16:17:27Z

Xiangcao：

[[分类:数学结构]]
[[分类:运算]]

=定义和含义=
逆元，指的是，在某种操作或者运算下，能够与给定元素<math> a </math>进行操作或者运算后产生[[:分类:单位元|单位元]]的元素<math> b </math>，此时元素<math> a </math>和元素<math> b </math>互为逆元。

也就是说，我们如果给定给定一个集合<math> S </math>，在这个集合上定义一个运算运算"<math> \circ </math>"，如果 <math> I </math> 是这个集合S上运算"<math> \circ </math>"的单位元，那么 <math> \forall a \in S </math>，有<math> \exists b \in S </math>，我们有 <math> a \circ b = b\circ a = I </math>，我们就称元素<math> a </math>和元素<math> b </math>互为逆元。
=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在实数集中的[[:分类:加法|加法]]运算上，逆元就是寻找一个数的[[:分类:相反数|相反数]]，因为任何数加上他的相反数都等于0([[:分类:加法单位元|加法单位元]])。在实数集中的[[:分类:乘法|乘法]]运算上，逆元就是寻找一个数的[[:分类:倒数|倒数]]，因为任何数乘上他的倒数都等于1 ([[:分类:乘法单位元|乘法单位元]])。

现在，你对于[[:分类:运算|运算]]，是不是有了新的理解？或者是有没有看到在更抽象的层面，运算的统一性。

<references>
</references>

分类:单位元

2023-11-30T16:17:00Z

Xiangcao：

[[分类:数学结构]]
[[分类:运算]]

=定义和含义=
单位元，指的是，在给定的操作或者运算下保持其他元素不变的特殊元素。

也就是说，我们如果给定一个集合 <math> S </math> ，在这个集合上定义一个运算 "<math> \circ </math>"，如果 <math> \exists I \in S </math> 使得 <math> \forall a \in S </math> ，我们有 <math> a \circ I = I \circ a = a </math> ，我们就称在集合 <math> S </math> 中，<math> I </math> 为运算 "<math> \circ </math>" 的单位元。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在实数集中的[[:分类:加法|加法]]运算上，单位元是[[:分类:零|0]]，因为任何数加0都等于其自身。在实数集中的[[:分类:乘法|乘法]]运算上，单位元是[[:分类:一|1]]，因为任何数乘以1都等于其自身。

现在，你对于[[:分类:运算|运算]]，是不是有了新的理解？或者是有没有看到在更抽象的层面，运算的统一性。

<references>
</references>

分类:代数的思想

2023-11-30T16:16:32Z

Xiangcao：

[[分类:数学的典型思维方式]]
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=定义和含义=
代数的思想，指的是，我们把用字母或者其他符号表示数(以及其他更加复杂的数学结构)，用运算符表示关系，这个用记号来辅助思考的功能，被称为代数的思想<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
在这里，它属于第三层知识，即学科大图景。

=代数的思想的简单例子=
一个苹果和两个苹果合起来数一数发现有三个苹果，这是具体的数量上的加法。

在你有了数的概念以后，我们可以到数的层面的加法：
<div style="text-align:center;"><math>1+2 = 3 </math></div>
在这里，我们关心的是 <math> 1 </math> 加上 <math> 2 </math> 等于 <math> 3 </math> ，也就是 <math> 1、2、3 </math>这些数。

这时候，如果我们在[[:分类:抽象|抽象]]上更进一步，走向了[[:分类:代数|代数]]和代数的思想，我们有:
<div style="text-align:center;"><math>a + b = c </math></div>
使用字母来表示两个对象，使用运算符来表示它们之间的关系，这就是代数的思想的直接体现，这里的关系就是加法。在 <math> a+b=c </math> 中，我们关心的是加法本身，而不是具体的数，因此就可以用 <math> a，b，c </math> 来代替 <math> 1+2=3 </math> 中的具体的数。这样用字母表示可以任意取值的数量。

这里的 <math> a，b，c </math> 的字母，就是代数。这里的 <math> a+b=c </math> 的式子，就是[[:分类:代数式|代数表达式]]。从具体的[[:分类:运算|运算]]，到抽象的代数表达式，这个过程中就体现了代数的思想。所以严格来说，在没有提出代数以前，加法只能被称为"合起来数一数"，但是有了代数以后，提出了加法的运算律以及其他性质，这时候"合起来数一数"才能被称为加法。

=代数的思想的意义=
在数的学习中，我们体会到了从算筹到数字的抽象过程，这样的抽象使得我们可以用初步用数学的语言来思考问题，来描述世界。而现在，我们要更进一步，我们不再满足于从算筹到数字的抽象，我们要脱离具体的数字，走向字母，用字母替代具体的数字，用于表达一切适用于当前数学关系的对象。

在这里，有了代数以后，我们对于数学的研究就不再限制于对象了，转而关注对象之间的关系。

代数的思想根源还是来自于抽象，帮助我们认清事物之间的规律和联系<ref name=xxdll/>。

比如说，加法就是把两个数a和b加起来，写作 <math> a + b </math> ，在知道了代数以后，以后可以用字母来代表一个一般的数，它可以用任何一个具体的数来代入<ref name=Wu:XXSX/>。

同样的，请你试着思考和写下用字母或者符号表示的减法、乘法和除法。

一定程度上来说，它其实是抽象的更具体的表述，是一种使用抽象的对象来替代具体的对象的更一般的思考问题的方式，帮助我们在抽象层面进行思考，从而在思考上走的更深刻走的更远。

代数的出现，使得数学脱离了数量关系的研究，走向了数量之间的普遍关系的研究。具体来说，就是当我们想要研究两个东西的关系时，我们一般会忽略这两个东西本身，在数学上我们不满足于忽略具体的东西进而抽象到数的层面，当我们提及代数时，我们甚至是忽略了具体的数到了字母的层面，也就是在讨论对于很多数都适用的关系。

比如我们从桌子上一个个拿起苹果来数苹果的数量，到我们用手指头来数苹果的数量，其实就已经有了抽象了。我们从具体的东西(苹果)抽象到了可以统一表示数量的东西(手指头)，再更进一步也就是从手指头再抽象到了数。

'''代数的思想，要求我们在抽象上更进一步，忽略具体的数，用字母来表示任意的数，从而走向数之间的关系'''，这样的好处在于，凡是满足这个关系的数，我们都可以统一来思考和讨论。这就是代数的思想的威力，有非常强大的统一能力，但是不要忘记，背后本质上依靠的是抽象。

=一个例子来体会代数的思想的威力=
下面这个例子摘自《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>：
[[File:DaiShuDeLiZiMao.png|400px|thumb|right|桌子上的猫(代数的思想的例子)]]
有两只完全一样的猫，还有一张桌子。左边是一只在地上趴着，一只在桌子上站着。右边是一只在地上站着，一只在桌子上趴着。我也不知道为什么，有人测量出来了两只猫之间的高度差。请你来算算桌子的高度。

我们用字母 <math> T </math> 表示桌子的高度, <math> C_s </math> 表示站着的猫的高度, <math> C_l </math> 表示趴着的猫的高度。注意，这里我们就用了字母来表示数，表示事物的量。我们再来看这些高度和测量出来的高度差之间的关系。

我们发现，左边和右边分别是 :
<div style="text-align:center;"><math>T+C_s-C_l = 150(厘米)</math></div>
<div style="text-align:center;"><math>T+C_l-C_s = 110(厘米)</math></div>

现在，我们把两个算式相加(请思考为什么可以把两个等式加起来)，得到:
<div style="text-align:center;"><math>\begin{align}
(T+C_s-C_l)+(T+C_l-C_s) & = 260(厘米) \\
T+T+C_s-C_s+C_l-C_l&=260(厘米)\\
2T&=260(厘米)
\end{align}</math></div>
因此 <math> T=130(厘米) </math>

我们发现，一旦我们去观察两个等式，注意到这两个等式之间的关系 —— <math> T+C_s-C_l </math> 和 <math> T+C_l-C_s </math> 的联系，就很容易发现，只要我们把两个等式相加，就可以去掉那些不知道是多少的 <math> C_s </math> , <math> C_l </math> 。这样的一个观察，如果我们没有代数的思想——用字母来代表数和算式，是完全不可能得到的。

这些都是数学成为思维的语言的基础。代数的思想是数学中非常重要而且常用的思维方式，毫不夸张的说，代数的思想是迈入新的数学世界，即将起飞的起点<ref name=Wu:XXSX/>。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
<ref name="xxdll">弗朗西斯·苏，《数学的力量》，中信出版集团，2022</ref>
</references>

分类:测量

2023-11-30T16:15:11Z

Xiangcao：

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=定义和含义=
测量，指的是，将一个研究对象的某些变量的具体数值测出来，为后续的思考、研究提供基础。

测量是绝大部分科学的基础，如何有效的设计方法进行变量的测量，是科学研究方法的核心。

测量时，为了实现测量尽可能的准确，也就是降低测量的[[:分类:误差|误差]]，于是使用什么工具、使用什么方法，都是测量需要考虑的问题。

=测量和数学的关系=
数学和现实，数学和科学是分不开的，而如果要让我们的数学与现实和科学有关系，则测量是最基本的一步。为了能够保留测量过程的尽可能多的信息，我们发现，测量结果的记录必须包含准确测量的部分、估计的部分、估计的[[:分类:误差|误差]]、[[:分类:单位|单位]]，同时还需要考虑[[:分类:有效数字|有效数字]]的长度。同时，在测量仪器和过程没有改变的情况下，我们还希望改变单位不带来测量结果的实际意义的改变。从这个要求出发，我们发现，我们需要在做单位转换的时候不改变有效数字的位数。于是，我们必须借助于一个叫作"[[:分类:科学计数法|科学计数法]]"的东西，才能真的做到转换单位不改变有效数字的位数。注意，科学计数法本身不能改变一个数的有效数字<ref name=Wu:XXSX/>。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:测量

2023-11-30T16:14:37Z

Xiangcao：

=定义和含义=
测量，指的是，将一个研究对象的某些变量的具体数值测出来，为后续的思考、研究提供基础。

测量是绝大部分科学的基础，如何有效的设计方法进行变量的测量，是科学研究方法的核心。

测量时，为了实现测量尽可能的准确，也就是降低测量的[[:分类:误差|误差]]，于是使用什么工具、使用什么方法，都是测量需要考虑的问题。

=测量和数学的关系=
数学和现实，数学和科学是分不开的，而如果要让我们的数学与现实和科学有关系，则测量是最基本的一步。为了能够保留测量过程的尽可能多的信息，我们发现，测量结果的记录必须包含准确测量的部分、估计的部分、估计的[[:分类:误差|误差]]、[[:分类:单位|单位]]，同时还需要考虑[[:分类:有效数字|有效数字]]的长度。同时，在测量仪器和过程没有改变的情况下，我们还希望改变单位不带来测量结果的实际意义的改变。从这个要求出发，我们发现，我们需要在做单位转换的时候不改变有效数字的位数。于是，我们必须借助于一个叫作"[[:分类:科学计数法|科学计数法]]"的东西，才能真的做到转换单位不改变有效数字的位数。注意，科学计数法本身不能改变一个数的有效数字<ref name=Wu:XXSX/>。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:误差

2023-11-30T16:11:45Z

Xiangcao：

[[分类:测量]]

=定义和含义=
误差，指的是，[[:分类:测量|测量]]出来的值和真实值之间的不同的那部分。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
误差是尽量要去消除的，误差基本上可以被分为估计误差和偶然误差。

==以长度测量为例==
我们举一个例子，是使用刻度尺去测量[[:分类:长度|长度]]的情况。这部分内容摘自《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>：

我们可以把对一个物体的测量写成下面的形式：
<div style="text-align:center;"><math>L=a . b \pm 0 . c \text { (最小单位 }) </math></div>

其中的 "<math> . </math>" 是小数点。第一部分 <math> a . b </math> 是测量得到的值，第二部分 <math> 0 . c </math> 是误差，第三部分是单位。其中, <math> a </math> 来自于米尺上的被测量物体占据的能够直接看出来的最小刻度的数量, <math> b </math> 是估计值, <math> c </math> 是估计的准确程度。

[[File:MiChiDeDuShu.png|300px|thumb|right|米尺的读数]](图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)

例如, 在图中, <math> a=2 </math>, <math> b </math> 差不多可以估计成 <math> 2 </math> 。 <math> 0 . c </math> 部分为了保险，我们假设一般来说，读数的人不会把到底靠近刻度 <math> 5 </math> 还是刻度 <math> 6 </math> 搞错。也就是说, 我们给它定成 <math> 0.5 </math> 。于是, 对于图中的木块, 我们得到读数：
<div style="text-align:center;"><math>L=2.2 \pm 0.5 \text { (厘米) }</math></div>

实际上，除了估计误差，我们还有其他的误差来源。例如，尺子不一定是完全放平的，被测量的物体的边界也不一定是完全直的，温度、湿度可能也会对尺子和被测量物体有影响。

对于这些偶然误差，实际上，我们是可以通过多次测量来改进的。也就是我们希望很多次的独立测量中，某些因素可以相互抵消。

不过，在这里，我们暂时只讨论单次测量的估计误差，不管偶然误差和多次测量。整数部分、估计部分、误差和[[:分类:单位|单位]]，是一个测量记录的必要的重要的内容。得到以最小单位的形式、记录的、表达式之后，我们还可以改成其他的单位。这就是单位换算。注意单位换算不改变哪一个是估计部分(记录的最后一位)，哪一个是误差(加减号<math> \pm </math>之后的部分)。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:一

2023-11-30T15:59:30Z

Xiangcao：

[[分类:单位元]]
[[分类:自然数]]
<lynkage width="100%" height="600">https://lynkage.cn/share/7KX6CdZjJFRXegR?
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=定义和含义=
一，也就是1，很自然地，是我们[[:分类:数数|数数]]的起点<ref name=Wu:XXSX/>，于是同样也很自然地，成为了我们数数的自然间隔<ref name=Wu:XXSX/>。

一，从更[[:分类:抽象|抽象]]的角度来看也可以是，唯一的具有其他数字乘以它而不发生改变这一特性的数字<ref name=SXSW/>。

=层次标注=
当它作为是[[:分类:自然数|自然数]]的起点时，它就是第零层知识，即经验和体验。

当它作为[[:分类:乘法|乘法]]的[[:分类:单位元|单位元]]来定义时，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
==自然数的起点==
一般来说，所有的小朋友认识的第一个数都是"一"，也就是"1"。而且，在学会数数以后，你会发现，自然数的间隔就是1。于是，1是你认识的特别早的知识，是你从生活中的经验和体验中学会的，而且可能你都没有意识到它是一个可以被提出来的知识。

在数学中，当引入了它和其他概念之间的联系，比如这里的自然数的起点，自然数的间隔，它就有了更多的意义。于是，你可以非常非常初步的体会一下，学习知识的过程就是体现在它和其他知识之间建立的联系的过程。随着你的知识的深入，即便是你很早就知道的知识和概念，也可能会有新的知识和理解，帮助你去更好的认识这个学科和你周围的世界。

==一是单位一的思想基础==
[[:分类:单位一的思想|单位一的思想]]，是广义上的"一"的定义的拓展。

我们之所以可以把一双袜子当作1来数，首先是因为我们先把"双袜子"定义为了单位，另外也是我们在使用单位一的思想把一双袜子看作是一个整体，记作了[[:分类:单位|单位]]。

==乘法单位元==
一，也就是"1"，作为乘法中的"乘上去不变的数"<ref name=Wu:XXSX/>，被称为乘法单位元，也就是1乘上所有的数，都得到原来那个数<ref name=Wu:XXSX/>，例如 <math> 1 \times a = a </math> 。

顺便，在这里，鼓励你去思考一下[[:分类:加法|加法]]的[[:分类:单位元|单位元]]是什么。(提示:加法单位元就是加上去不变的数)然后顺便尝试着总结一下单位元的含义。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
<ref name="SXSW"> 郑乐隽，《数学思维》，中信出版集团，2019 </ref>
</references>

分类:零

2023-11-30T15:57:51Z

Xiangcao：

[[分类:自然数]]
[[分类:单位元]]

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=定义和含义=
零，也就是0，指的是，表示一个对象的数量没有了的数<ref name=Wu:XXSX/>。

零，从更[[:分类:抽象|抽象]]的角度来看，也可以是，唯一的具有其他数字加上它而不发生改变这一特性的数字<ref name=SXSW/>。

如果指的是参考点，一般来说称为零点，例如温度的零度、刻度的零等等。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
==零是一个数==

零本身也是一个数，在我们的数学体系中，我们把零也看作是[[:分类:自然数|自然数]]，而且是最小的自然数。

零，最朴素的来源是，将几个数量的东西不断拿走，直到拿到所有的东西都被拿走了，这时候已经没有剩下的东西了，我们就称现在剩下的东西的数量是零<ref name=Wu:XXSX/>。

顺便，在这里，表示东西不断被拿走的过程，也就是从一个整体中去掉一部分的过程，就是[[:分类:减法|减法]]。所以，在减法的含义下，你可以说，零就是来源于减法而且是不断通过减一减一，最后减到什么都没有了。

如果这时候继续问，如果减到什么都没有了，还能继续作减法吗？其实可以，生活中有很多这样的例子，比如说你的钱花完了，可以去找爸爸妈妈借一些(借钱后，等自己有钱了，要把钱还回去)。这个在将来会和一个叫负数的概念联系起来<ref name=Wu:XXSX/>。

零如果进入[[:分类:加法|加法]]和减法，会有什么计算的结果？可以设想下面的情景。我有两个包子放在我自己的盘子里，这时候妈妈拿来一个空盘子放在旁边，首先数一数两个盘子里各自有多少个包子？在掌握了零的定义后，试着回答那个空盘子里有几个包子？然后再数一数两个盘子合起来总共有多少个包子。

这时候，用数学的语言来表示两个盘子合起来数一数总共多少个包子的过程：<math> 2(个包子)+0(个包子)=2(个包子) </math>

很显然，我们看到了零进入加法的情况，也就是零加上一个数，还是等于那个数本身。

同样的，类似刚才的加法，试着用减法的定义想一个零进入减法的例子，然后总结出零进入加法和减法后，会有什么计算的结果？

另外，零进入[[:分类:乘法|乘法]]时，根据乘法就是重复进行的加法，我们知道，零进入乘法以后，表示着进行了零次重复的加法，也就是根本没有进行任何的加法，所以结果是零。当然，也可以从现实世界的角度来解释，假设你有0组苹果，每组有5个苹果。那么你总共有多少苹果？答案是0，因为你根本没有苹果。这就是为什么0乘以任何数都是0的原因。

==参考点==
以我们最常见的温度计、刻度尺，你都可以在上面找到零点，例如我们在讨论温度是零上18度还是零下18度时，都是以零点作为参考点。

在数学里，还有[[:分类:数轴|数轴]]上的零点，[[:分类:平面直角坐标系|平面直角坐标系]]中的原点，都是以零作为参考点。

==加法单位元==
零，也就是0，的另一层含义，还是加法加上去不变的量，也就是在实数集中加法运算上的单位元，简称[[:分类:加法单位元|加法单位元]]。

==进制系统中的占位符==
零不仅仅是一个数，也是[[:分类:进制系统|进制系统]]中的一个关键元素，表示着这个[[:分类:数位|数位]]其实是有效的，只不过数位上的数是零而已。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
<ref name="SXSW"> 郑乐隽，《数学思维》，中信出版集团，2019 </ref>
</references>

分类:分数

2023-11-30T15:55:20Z

Xiangcao：

[[分类:实数]]
[[分类:除法]]
[[分类:乘法]]

<lynkage width="100%" height="600">https://lynkage.cn/share/CeT78EFWrfdp3Je?
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=定义和含义=
分数，如果从[[:分类:乘法|乘法]]和[[:分类:除法|除法]]的角度来定义分数，我们说 <math> \frac{1}{5} </math> 是那个乘以5以后得到1的数， <math> \frac{1}{5} </math> 也是那个1除以5以后得到的数。这时候，我们把除号称作"分数线"，也就是中间那条横线。有了分数线，我们把分数线上面的被除数称作"分子"，分数线下面的除数称作"分母"。

从而更进一步，我们用[[:分类:代数的思想|代数的思想]]来提炼一下，类似地，对于任何一个整数n，我们都可以通过除法和乘法计算来得到 <math> \frac{1}{n} </math> 。 <math> \frac{1}{n} </math> 是那个乘以n以后得到1的数，<math> \frac{1}{n} </math>也是那个1除以n以后得到的数<ref name=Wu:XXSX/>。更更近一步，类似地，任何一个分数<math> \frac{m}{n} </math>都是<math> \frac{1}{n} </math>乘以m以后得到的数<ref name=Wu:XXSX/>，也就是:
<div style="text-align:center;"><math> \frac{m}{n} = m \times \frac{1}{n}</math> </div>

有了代数的基础后，从[[:分类:倍数|倍数]]的角度来说，指的是，也就是问某个东西的数量a是另一个东西的数量b的多少倍，然后我们可以用分数的形式把这个关系纪录下来，记作 <math> \frac{a}{b} </math> 。

如果从整体和部分的角度来看，分数，指的是，分子占分母的多少，也就是把分母看作一个整体，看作一个[[:分类:单位|单位]]，蕴含着[[:分类:单位一的思想|单位一的思想]]。这部分其实在倍数的知识中也有提及，复习一下看看吧。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
为了避免你还没有学会代数，我们来举一个例子：
[[File:QiePizzaBiaoShiFenShu.png|500px|thumb|right|切pizza表示分数]]

例如2个苹果是4个苹果的多少倍，我们按照倍数的含义，2是被除数，4是除数，于是我们记作： <math> 2 \div 4 \, </math> (倍)，然后我们可以用分数的形式把这个关系纪录下来，记作 <math> \frac{2}{4} </math> ，其中，我们把中间那条横线叫作分数线，分数线上面的2叫作分子，分数线下面的4叫作分母。

从倍数的知识出发，我们发现计算一个东西的数量a是另一个东西的数量b的多少倍时，我们是把a当作被除数，把b当作除数，于是我们可以写成 <math> a \div b \quad </math> (倍)。对比起分数 <math> \frac{a}{b} </math> 的形式，你有没有发现什么奥秘？

分数，不过就是，把除法换了一个形式，分数线就相当于除号，分子就是被除数，分母就是除数，仅此而已。

另外，当我们谈论分数的时候，经常会说到几分之一，几分之一的含义就是:把一个整体分成了几个部分，取其中的一个部分就被称作几分之一。更一般地，几分之几的含义就是:把一个整体分成了分母数值那么多个部分，取其中的分子数值那么个部分，这两个数一般不同，就被称作几分之几<ref name=Wu:XXSX/>。(图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)

这里，其实就是[[:分类:化归的思想|化归的思想]]在指导着我们在这样思考，顺着分数(新概念新知识)的含义，把新的知识化归到已经学会的知识上，从而在学会新概念的基础上又不增加我们的学习负担，看，化归的思想威力多大！

值得注意的是，分数的分母不能是[[:分类:零|零]]，直接来源就是除数是零的时候，因为除法就是重复的减法，也就是减法的简便运算，重复减去零，看能减几次的时候，你会发现永远都减不完，这时候就会直接进入一个你现在很难处理的数学对象，无穷大。于是在这个阶段，我们不讨论这个情况。

==带分数==
带分数，指的是，当分数的值大于1时，直接可以写成整数 <math> + </math> 分数的形式，其中整数部分是大于1的部分，分数部分是小于1的部分<ref name=Wu:XXSX/>。

例如， <math> 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} </math> 可以写成 <math> 1\frac{1}{2} </math><ref name=Wu:XXSX/>。

而<math> 1\frac{1}{2} </math>，这样的形式，有时候，也有人称之为假分数。但是，进行这样的很细致的分类我们不建议，因为没有新增什么有用的信息。我们在这里提一下这个概念，只是让你知道有这个东西，防止以后有人提起这个概念你不明白他们在说什么，仅此而已。

因为，在你真的很熟悉分数的含义以后，带分数的概念也是可以没有的，只需要理解了分数就可以涵盖像带分数、假分数这些概念。我们坚持用更少的概念帮助你建立数学学科的大厦，相信我们，这样你的记忆负担会更少，而且建立起来的数学大厦也会更稳固。

==乘法和除法的统一==
从分数的定义出发， <math> \frac{1}{2} </math> 就是把一个整体分成了两份，取出其中的一份。如果这时候我问： <math> 4 \times \frac{1}{2} </math> 等于多少，这时候借助乘法是重复的加法的定义，我们把4个 <math> \frac{1}{2} </math> 加起来，发现是2。这和 <math> 4 \div 2 </math> 得到的结果是相同的<ref name=Wu:XXSX/>。

这时候，我们从运算来验证一下。因为分数线就是除号，所以我们有<math> 4 \times \frac{1}{2} = 4 \times 1 \div 2=2</math>，结果没问题。

所以，我们更进一步归纳，把把4和2替换成任何整数，因此，一般地我们有:一个数除以一个整数，等于，前一个数乘上后一个整数的[[:分类:倒数|倒数]]<ref name=Wu:XXSX/>。也就是， <math> a \div b=a \times \frac{1}{b} </math> 。

但是我们不满足于在整数范围内讨论，于是我们继续问： <math> 4 \div \frac{1}{2} </math> 等于多少？依据分数的含义和定义，我们给这个数学关系找一个对应的例子：有四个馅饼，把每一个馅饼切成 <math> \frac{1}{2} </math> ，请问最后一共有多少块 <math> \frac{1}{2} </math> 的馅饼？如果我们实际切一下，然后数一数，就发现有8块。于是我们得到<math> 4 \div \frac{1}{2} =8</math>。

我们从运算来验证一下，
<div style="text-align:center;"><math> \begin{align}
4 \div \frac{1}{2} & = (4 \times 1) \div \frac{1}{2} \\
& = 4 \times\left(1 \div \frac{1}{2}\right) \\
& = 4 \times 2 \\
& = 8
\end{align} </math></div>

其中， <math> (1 \div \frac{1}{2}) </math> 代表着把每一个馅饼切成 <math> \frac{1}{2} </math>。于是你就看到和上面我们例子中可以一一对应的部分了。试一试自己想明白吧。

这时候，我们使用代数的思想来总结，有<math> a \div \frac{b}{c}=a \div b \times c=a \times \frac{1}{b} \times c = a \times \frac{c}{b} </math> ，也就是一个数除以一个分数，就是前一个数乘上后一个分数的倒数。

于是，我们在分数、倒数的基础上，看到了乘法和除法的统一。顺便，我们还通过负数看到的加法和减法的统一。化归的思想在发挥着作用，数学的魅力开始展现。

==分数的性质==
分数的性质，指的是，分子分母同时乘以(或者除以)一个非零的数，分数值不变<ref name=Wu:XXSX/>。

本质上，这是由于分数的含义导致的。从分数的含义我们知道，分数线可以看作是除号，于是一个分数就可以写成除法的形式，下面举一个例子：
<div style="text-align:center;"><math> \begin{align}
\frac{2}{3} & = \frac{2\times5}{3\times5}\\
& = (2 \times 5) \div (3 \times 5)\\
& = (2 \times 5)\div(5 \times 3)\\
& = 2 \times 5\div5 \div 3\\
& = 2 \times (5\div5) \div 3 \\
& = 2\div 3 \\
& = \frac{2}{3}
\end{align} </math></div>

鼓励你一定要仔细思考并理解其中的每一步。提示：这里用到了运算律的知识。当你明白了这个性质以后，就打开了进一步使用分数的大门。鼓励你在使用中细细体会和品味这个性质的重要性。

==分数的运算==
我们从分数的含义出发，也就是分数线就是除号，于是我们就把分数变成了在[[:分类:整数|整数]]上的除法，于是就自然连接到了我们已经学会的[[:分类:四则运算|四则运算]]上了。

但是，有了这层分数的含义，我们还不能很好的完成分数的运算。因为我们虽然在理论上已经可以通过四则运算来完成分数的四则运算，但是在具体操作上仍然存在问题，因为你不能把几个分数都用除法一直算算算，然后再把这些分数的值进行加减乘除，因为这只是从分数的运算变成[[:分类:小数|小数]]的运算，而且如果遇到[[:分类:无限小数|无限小数]]，那么这是一件很难完成的事情。

于是我们又要回到分数的含义思考。我们还可以把分数看作是一个整体的一部分。从这里出发，我们发现，要做分数的加法，如果两个分数的分母是一样的，那么就相当于从同一个整体中取出来一部分和另一部分合起来数一数，看看占总体的多少。于是这两个分数的分子就是同一个整体中的两个部分，加法就是把这两部分合起来数一数，于是分子就是直接相加。我们想要的是，得到的合起来数一数的数量占总体的多少，而总体就是它们相同的分母，于是就是分子相加起来的数除以分母。于是我们就有了分数的加法的原理：如果两个分数的分母相同，那么两个分数相加，就是分子相加，分母不变。

其实，我们还可以从运算的角度来看<ref name=Wu:XXSX/>，例如:
<div style="text-align:center;"><math> \begin{align}
\frac{2}{7}+\frac{3}{7} & = 2 \div 7+3 \div 7 \\
& = (2+3) \div 7 \\
& = 5 \div 7 \\
& = \frac{5}{7}
\end{align}</math></div>

所以问题的关键就在于，如何去把任意两个分数变成分母相同的两个分数。这里我们思考一下分数的性质。我们是不是可以让两个分数的分母分别乘上不同的数使得它们变成相同的数，为了不改变分数的值，从分数的性质出发，我们也对分子乘上相同的数。

那么问题又来了，如何确定两个不同的分母分别该乘上多少才能让两个分母相等呢？从公倍数的角度思考一下。于是，我们把这个寻找不同分数的相同分母的过程，称之为[[:分类:通分|通分]]。

[[:分类:约分|约分]]是与通分相对的操作，其本质也是利用了分数的性质。为了分数的统一表达，使得我们能够更容易看出来不同分数的关系，或者是为了使得分数参加的运算更加简单，我们会需要经常把分数写成最简分数，也就是利用分数的性质，把分子和分母变成两个没有[[:分类:公因数|公因数]]的数，于是我们把这个过程称之为约分。

为什么这里我们只研究了[[:分类:加法|加法]]？因为四则运算本质上都可以回到加法，于是其他运算都可以通过加法来实现。至少减法是很容易这样想明白的。至于分数的乘法和除法，直接利用分数的含义，分数线就是除号，就可以转换为整数的四则运算，最后又可以把结果返回到分数的形式上。

==分数和小数的关系==
我们可以从[[:分类:数轴|数轴]]上分割刻度的例子，很自然想到了分数，因为分数的含义，就是将一个整体平均分。

所以从数轴的角度来说，分数和小数似乎天然就是有联系的，按照把1份2到3的整数的间隔刻度分成10份，上面的 <math> 0.1 </math> 也可以写成分数 <math> \frac{1}{10} </math> 。

另外，你还可以从运算层面感受一下这个自然的过程，有了小数的基本定义后，从分数到小数是很自然的，不信你去试一试 <math> \frac{3}{7} </math> 等于多少？(提示：根据分数的含义，分数线就是除号，于是分数在运算上自然就是除法)。无论能否除尽，反正它会是一个小数。

下面可以给出一个证明，证明分数是可以表示成[[:分类:有限小数|有限小数]]或者是[[:分类:无限循环小数|无限循环小数]]的，看不懂也没关系：

考虑分数<math> \frac{m}{n} </math>，m＜n。如果这个分数能化为有限小数，结论成立。如果不能化为有限小数，用m除以n必有余数，显然，这个余数只能取1和n-1之间的一个整数。根据除法的运算法则，有余数后的除法需要用0填位。因此，最多n次运算后，某个余数必然还要出现第二次，并且在以后的运算中周期出现，这就形成了循环小数。这就证明了：所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数<ref name=Shi:SXSX18/>。

有限小数到分数，是非常简单的，由于[[:分类:进制系统|进制系统]]，小数的小数部分的[[:分类:数位|数位]]可以用平均切分一个数位上的值为10份来表示，这是你已经知道的事情，下面我们详细举例说明，例如 <math> 0.1 </math> 就等于 <math> \frac{1}{10} </math>。所以 <math> 0.2 </math> 就等于两份的<math> \frac{1}{10} </math>， <math> 0.12 </math> 就等于12份的 <math> \frac{1}{100} </math> 。

照此使用代数的思想，我们很容易得到可以推广到任意有限小数都可以和分数互相表示的结论。

那么无限小数呢？无限小数中的无限循环小数，可以通过运算来说明白，这也是一个证明过程：
<div style="text-align:center;"><math> \begin{array}{r}
12+0 . \dot{1} \dot{2}=0 . \dot{1} \dot{2} \times 100 \\
\Rightarrow 12=99 \times 0 . \dot{1} \dot{2} \\
\Rightarrow 0 . \dot{1} \dot{2}=\frac{12}{99}
\end{array} </math> </div>

这里我们是随便举了个例子，你可以使用代数来重新证明一遍，然后就可以推广到全部的无限循环小数了。

那么无限不循环小数和分数能否互相表示呢？答案是不能。于是产生了无理数。

于是我们有结论：所有的分数都可以表示为小数，这些数是有理数。无限不循环小数不能表示为分数，这些数是无理数。

==最简分数==
最简分数，指的是，分子分母都是[[:分类:质数|质数]]的分数。这个时候，最简分数不能再使用约分来进行简化。

值得注意的是，一般来说，当你需要研究分数的结构或者讨论分数的性质的时候，把它化简最简分数一般都会有助于你去更进一步思考这个分数的性质和结构。但是，并不是任何时候都需要把分数化简，有时候，例如不同分数相加减的时候，我们还需要把最简分数进行通分，寻找它们的最小公倍数。所以，这里要告诉你的是，在进行任何一个操作之前，你需要问一问自己为什么要进行这个操作，因为任何一个操作其实都需要对应着一个明确的目的，这样的思考方式希望你迁移到任何一件事情的思考上去。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
<ref name="Shi:SXSX18">史宁中，《数学基本思想18讲》，北京师范大学出版社，2016</ref>
</references>

分类:因式分解

2023-11-30T15:48:47Z

Xiangcao：建立内容为“分类:方程分类:表达式 =定义和含义= 因式分解，指的是，将一个表达式分解为几个更简单表达式的…”的新页面

[[分类:方程]]
[[分类:表达式]]

=定义和含义=
因式分解，指的是，将一个[[:分类:表达式|表达式]]分解为几个更简单表达式的乘积。

=层次标注=
这里，它属于第一层知识，即流程性知识。

=辅助理解的解释=
在[[:分类:质因分解|质因分解]]的知识中，我们曾经把一个合数分解为几个质因数的乘积，这里的因式分解非常类似于质因分解的过程，只不过我们换了研究对象，从质因分解所研究的"数"换到了因式分解所研究的"表达式"。所以，研究构成复杂表达式的多个更简单的表达式的性质，有助于我们理解复杂表达式的性质，帮助我们理解复杂的表达式。背后的[[:分类:分解和综合的思想|分解和综合的思想]]，是因式分解的核心思想。

在经典的因式分解中，我们有[[:分类:平方差公式|平方差公式]]和[[:分类:完全平方公式|完全平方公式]]这两个很常用的例子。它们可以帮助我们简化表达式来为更下一步的计算或者思考提供基础。

分类:分配律

2023-11-30T08:25:51Z

Xiangcao：

[[分类:运算律]]
[[分类:代数]]
[[分类:算术]]

=定义和含义=
分配律，指的是，对于两个给定的[[:分类:运算|运算]]或者操作来说，其中一个运算"<math> \circ </math>"对于另一个运算"<math> \ast </math>"，同时满足对于右侧和左侧的分配律，我们就说运算"<math> \circ </math>"满足对于运算"<math> \ast </math>"的分配律。

其中，右侧的分配律，指的是，对于给定的一个运算或者操作"<math> \ast </math>"的，如果可以把另一个运算或者操作"<math> \circ </math>"放到右边，然后打开这个组合进行两个运算或者操作，如果最终结果不变，那么就说"<math> \circ </math>"满足"<math> \ast </math>"的右侧分配律。也就是说，对于一个集合<math> L </math>中的任意元素A、B、C，我们有 <math> (A \ast B) \circ C= A \circ C \ast B \circ C </math>，我们就说，运算"<math> \circ </math>"满足运算"<math> \ast </math>"在<math> L </math>上的右侧分配律。

类似的，左侧的分配律，指的是，对于给定的一个运算或者操作"<math> \ast </math>"的组合，如果可以把另一个运算或者操作"<math> \circ </math>"放到左边，然后打开这个组合进行两个运算或者操作，如果最终结果不变，那么就说"<math> \circ </math>"满足"<math> \ast </math>"的左侧分配律。也就是说，对于一个集合<math> L </math>中的任意元素A、B、C，我们有 <math> A \circ (B \ast C)= A \circ C \ast B \circ C </math>，我们就说，运算"<math> \circ </math>"满足运算"<math> \ast </math>"在<math> L </math>上的左侧分配律。

以上左右两侧都满足了，我们就说"<math> \circ </math>"满足"<math> \ast </math>"的分配律。

更一般的，只要有两个运算或者操作在一起讨论运算律，我们都需要考虑左侧和右侧的情况。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
[[:分类:乘法|乘法]]对于[[:分类:加法|加法]]的右侧的分配律，例如，<math> (2+3)\times5 = 2 \times 5 + 3 \times 5 = 5 \times 5</math>，因为组合是加法，乘法放到了加法组合的右边，通过计算，我们知道，拆开组合的计算和先进行组合的计算，两种情况的最终结果不变，我们就说乘法满足加法的右侧分配律。

类似的，乘法对于加法的左侧的分配律，例如，<math> 5 \times (2+3) = 5 \times 2 + 5 \times 3 = 5 \times 5</math>，因为组合是加法，乘法放到了加法组合的左边，通过计算，我们知道，拆开组合的计算和先进行组合的计算，两种情况的最终结果不变，我们就说乘法满足加法的左侧分配律。

以上左右两侧都满足了，我们就说"乘法满足对于加法的分配律"，在小学阶段，我们就简称"[[:分类:乘法分配律|乘法分配律]]"。但是，希望你可以清楚这只是简称，分配律本身是由右侧分配律和左侧分配律构成的。

<references>

</references>

分类:分配律

2023-11-30T08:24:37Z

Xiangcao：

[[分类:运算律]]
[[分类:代数]]
[[分类:算术]]

=定义和含义=
分配律，指的是，对于两个给定的[[:分类:运算|运算]]或者操作来说，其中一个运算"<math> \circ </math>"对于另一个运算"<math> \ast </math>"，同时满足对于右侧和左侧的分配律，我们就说运算"<math> \circ </math>"满足对于运算"<math> \ast </math>"的分配律。

其中，右侧的分配律，指的是，对于给定的一个运算或者操作"<math> \ast </math>"的，如果可以把另一个运算或者操作"<math> \circ </math>"放到右边，然后打开这个组合进行两个运算或者操作，如果最终结果不变，那么就说"<math> \circ </math>"满足"<math> \ast </math>"的右侧分配律。也就是说，对于一个集合<math> L </math>中的任意元素A、B、C，我们有 <math> (A \ast B) \circ C= A \circ C \ast B \circ C </math>，我们就说，运算"<math> \circ </math>"满足运算"<math> \ast </math>"在<math> L </math>上的右侧分配律。

类似的，左侧的分配律，指的是，对于给定的一个运算或者操作"<math> \ast </math>"的组合，如果可以把另一个运算或者操作"<math> \circ </math>"放到左边，然后打开这个组合进行两个运算或者操作，如果最终结果不变，那么就说"<math> \circ </math>"满足"<math> \ast </math>"的左侧分配律。也就是说，对于一个集合<math> L </math>中的任意元素A、B、C，我们有 <math> A \circ (B \ast C)= A \circ C \ast B \circ C </math>，我们就说，运算"<math> \circ </math>"满足运算"<math> \ast </math>"在<math> L </math>上的左侧分配律。

以上左右两侧都满足了，我们就说"<math> \circ </math>"满足"<math> \ast </math>"的分配律。

更一般的，只要有两个或者以上的运算或者操作在一起讨论运算律，我们都需要考虑左侧和右侧的情况。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
[[:分类:乘法|乘法]]对于[[:分类:加法|加法]]的右侧的分配律，例如，<math> (2+3)\times5 = 2 \times 5 + 3 \times 5 = 5 \times 5</math>，因为组合是加法，乘法放到了加法组合的右边，通过计算，我们知道，拆开组合的计算和先进行组合的计算，两种情况的最终结果不变，我们就说乘法满足加法的右侧分配律。

类似的，乘法对于加法的左侧的分配律，例如，<math> 5 \times (2+3) = 5 \times 2 + 5 \times 3 = 5 \times 5</math>，因为组合是加法，乘法放到了加法组合的左边，通过计算，我们知道，拆开组合的计算和先进行组合的计算，两种情况的最终结果不变，我们就说乘法满足加法的左侧分配律。

以上左右两侧都满足了，我们就说"乘法满足对于加法的分配律"，在小学阶段，我们就简称"[[:分类:乘法分配律|乘法分配律]]"。但是，希望你可以清楚这只是简称，分配律本身是由右侧分配律和左侧分配律构成的。

<references>

</references>

分类:结合律

2023-11-30T08:22:17Z

Xiangcao：

[[分类:运算律]]
[[分类:代数]]
[[分类:算术]]

=定义和含义=
结合律，指的是，在给定的[[:分类:运算|运算]]或者操作中，即便进行不同对象的组合从而优先进行操作，也不会影响最后的结果。

如果我们定义一个运算"<math> \circ </math>"，对于一个集合<math> L </math>中的任意元素A、B、C，我们有 <math> (A\circ B) \circ C= A \circ (B \circ C) =A\circ B \circ C</math>，我们就说，运算<math> \circ </math>在<math> L </math>上满足结合律。

目前在小学阶段，我们主要涉及的是[[:分类:算术|算术]]和[[:分类:代数|代数]]层面[[:分类:加法结合律|加法结合律]]和[[:分类:乘法结合律|乘法结合律]]，随着学习的深入，你会不断重新认识结合律。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
结合律表示着在给定的操作下，对象之间是可以进行组合的，比如你面前有一个图形，你要进行三个操作，你把它先顺时针旋转<math> 90^{\circ} </math>，再顺时针旋转<math> 180^{\circ} </math>，然后把它再逆时针旋转<math> 90^{\circ} </math>；和先顺时针旋转<math> 180^{\circ} </math>紧接着逆时针旋转<math> 90^{\circ} </math>，最后再顺时针旋转<math> 90^{\circ} </math>，结果是一样的。这样的操作和对象，我们也称之为满足结合律。

类似的，只要满足了结合优先进行操作后不影响结果的，我们都可以称之为满足结合律。

<references>

</references>

分类:数学结构

2023-11-30T08:02:34Z

Xiangcao：

[[分类:数学的典型研究对象]]

=定义和含义=
数学结构，指的是，内部有[[:分类:元素|元素]]且元素之间有特定的关系的一个对象。往往这个结构的名称和这些元素以及元素之间的关系相联系<ref name=Wu:XXSX/>。例如，集合、整数这些都是结构。以后你会学到更多数学结构。

=层次标注=
在这里，它属于第三层知识，即学科大图景，数学结构是典型的研究对象。

=表示数学结构和研究表示间的转换是数学研究的目标和研究方式=
以下内容摘自《小学数学这样》<ref name=Wu:XXSX/>：
表示，在数学中的含义是，把一个不熟悉的往往更加[[:分类:抽象|抽象]]的[[:分类:数学结构|数学结构]]，用一个熟悉的更加具体的数学结构来替换，保证替换以后，所有能够对抽象对象做的操作，也可以在具体对象上面来操作，并且操作得到的结果，刚好就是相应地把抽象对象操作的结果替换之后得到的具体对象。

更加宽泛地来说，把一个实际对象抽象为一个新的数学对象，或者用一个已经存在的数学对象去描述实际对象，也可以看作一个表示。之前，我们称之为[[:分类:数学建模|数学建模]]、数学是描述世界的语言、数学的抽象。因此，表示和数学建模、数学当作语言、数学抽象密切相关。它们之间不是完全平行或者独立的关系。

例如，我们用两个数排成一列来表示一个二维平面的矢量，然后矢量的加法表示为对这两个数的某种加法，甚至进一步把对矢量的旋转表示为对这两个数的线性运算(也就是矩阵乘以矢量)。例如，我们把对一个正三角形的保持形状的旋转们表示为相应的一个个矩阵。例如，我们把每一个词表达为概念空间的矢量，把思想和思考表达为某种语言。

有了一个抽象对象的更加具体的表示，我们人类的大脑就可以更顺利地理解这些抽象的对象以及对这些对象做计算。有了表示，这样的计算甚至电脑也能够完成。

同时，有了表示就会有同一个对象的不同表示以及它们之间的关系，这就是表示间的转换，也称为变换。一个问题或者对象的不同表示可以激发不同的思维方式和分析方法，而这些不同的角度有助于解决其适配的问题或者说整个问题的不同侧面。

=数学结构的辅助解释=
数学结构是数学中的典型研究对象。在很基础的数学知识中，比如现在小学阶段的数学知识中，数学结构很多时候是数量关系层面的关系，后面你会学到关于[[:分类:代数|代数]]的、[[:分类:几何|几何]]的数学结构。

数学结构中的关键是数学对象之间的关系，是它们之间的关系决定了这个数学结构的核心内容。比如在几何中，对象是点、线、面、体，它们之间的关系就是数量、距离、角度这些数学概念背后的关系，有了这些关系，才有了多种多样的数学几何概念，例如圆、三角形、四边形等等。数学结构这个概念的提出，也就体现着数学其实很关注对象之间的关系。这一点，值得你在任何一个阶段中学习数学的时候仔细体会，从加法到范畴论，一直都离不开关系的讨论。

数学结构离不开[[:分类:抽象|抽象]]、[[:分类:代数的思想|代数的思想]]、[[:分类:集合的思想|集合的思想]]。
代数的思想使得数学借助抽象抛开了具体的对象，只留下一个粗颗粒度的对象，从而把更多的注意力转移到了它们之间的关系上；
集合的思想为数学对象提供了划分的工具和思想，从而把数学结构变成了从一个集合到另一个集合之间的操作和变换；
而最最核心的抽象，使得其他数学思想能够成立，进而才能产生数学结构，并且，数学结构在抽象的帮助下，一步一步走向了更抽象的数学结构，每一次抽象都是迈向了更一般的数学结构，从而使得数学可以更广泛的把数学应用于解决现实世界中的问题。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:分解和综合的思想

2023-11-30T07:56:06Z

Xiangcao：

[[分类:数学的典型思维方式]]

=定义和含义=
'''分解'''，指的是，将一个问题或者是研究对象拆分为更小、更容易理解的部分。

'''综合'''，指的是，将这些分散的部分重新组合，还原到原有的整体的问题或者研究对象中，来回答和解决最初的问题。

于是，这两个互相依赖的思维方式被统称为'''分解和综合的思想'''。

=层次标注=
在这里，它属于第三层知识，即数学学科大图景，是数学的典型思维方式。

=辅助理解的解释=
通俗来说，分解和综合就像是拆解一个大玩具车，我们先来看看这个大玩具车的各个部件是如何工作的，然后再将各个部件重新组装起来，就可以清楚的知道为什么大玩具车可以有复杂的功能。也就是，是把复杂的问题或系统拆分为更小、更易于理解的部分(分解)，然后再将这些部分组合起来以获得更全面的理解或解决整体问题(综合)。

在数学中，[[:分类:质因分解|质因分解]]就是很典型的用到了分解和综合的思想的概念。想要了解一个很大的数的性质，我们可以使用质因分解把这个很大的数拆解为它的质因数的乘积，然后通过深入研究这些[[:分类:质因数|质因数]]的性质，从而综合起来可以得到大数的性质。

另外，在几何部分中，很多图形的面积的计算也可以用到分解和综合的思想。想要知道一个复杂图形的面积，先将这个复杂图形分解为多个简单图形，然后通过计算得到各个简单图形的面积，最后综合起来把所有的简单图形的面积加和起来，就得到了复杂图形的面积，这样的分解和综合，我们也可以给它一个名字，叫作[[:分类:割补|割补]]。

还有，在复杂应用题中，现将复杂问题分解为更小、更容易处理的部分，因为复杂的应用问题通常包含大量信息和多个变量，分解将问题分成较小的子问题，每个子问题都更简单，更容易看到其中的数学关系；解决了所有子问题，我们就可以将它们的解决方案综合起来得出最终的总问题的答案。

但是，其实这个思想更重要的是指导了[[:分类:数学建模|数学建模]]的过程，再问题的拆解和模型的数学化中，帮助我们把一个复杂的问题建立为一个我们能够充分了解的数学模型然后用于问题的求解。更重要的是，这个思维方式是跨越多个学科的思维方式，其实我们在学习、生活和生产中经常会用到。

=分解和综合是数学结构研究的典型方式=
以下内容摘自《小学数学这样》<ref name=Wu:XXSX/>：

一方面，分解以及反过来的综合成为数学甚至科学的一种重要思维方式的原因，来自人类认识世界的需求。这个世界的事物足够多种多样，丰富多彩，只有不断地分解之后，才能找到更基本的单元，然后通过这些基本单元的组合，可以反过来得到丰富多彩的世界的事物。例如，我们把物体分解为物质，把物质分解为元素，把元素分解为中子、质子和电子等。这样，更底层的结构种类更少，然后通过反过来把这些单元一层层组合起来，也就是子结构的综合，可以得到更上层的更加复杂数量更多的结构<ref name=Wu:XXSX/>。

另一方面，分解和综合成为数学和科学的普遍思维方式，也可能是受人类大脑的影响。人类功能有限的大脑，尤其是记忆成本高容量小(对于没有联系的相互独立的信息单元，人类工作记忆的容量是<math> 7 \pm 2 </math>)和不愿意过多地依赖记忆，使得我们必须建立起来一个通过用很少的概念组合起来就能得到更加复杂的概念的体系，从而使得我们可以用这套语言来描述世界<ref name=Wu:XXSX/>。

不过，不管出于什么原因，结果就是:复杂的[[:分类:数学结构|数学结构]]往往通过简单的数学结构来构成。例如，[[:分类:集合|集合]]上面加上满足某些条件的[[:分类:映射|映射]]可以构成[[:分类:群|群]]。如果一个集合上面有两种构成群的映射，并且这两种运算还具有某些相容的性质，合起来可以构成[[:分类:域|域]]。增加更多的基本结构，可以构成线性空间等等。甚至，就在群的范围内，我们也希望所有的群都可以还原成数量有限(或者类型有限)的简单群。一旦我们可以搞清楚这些简单群，把它们在某种意义上嵌套融合起来，就可以构成其他更复杂的群。这样的寻找一个数学结构的简单的情形，然后希望通过这些简单情形的组合来构成复杂的情形的追求，是数学研究中特别普遍的需求<ref name=Wu:XXSX/>。

甚至，结合前面的数学结构的表示，如果我们找到了简单结构的表示，复杂结构也确实可以通过简单结构的组合而得到，则我们实际上就解决了所有结构的表示<ref name=Wu:XXSX/>。

例如，通过[[:分类:因式分解|因式分解]]来求解[[:分类:方程|方程]]，实际上就是分解和综合的体现:本来我们有一个多种因素导致的等于零的表达式，我们希望找到这样的因素;现在，我们希望通过把这样的因素一个个分离开来(依靠的逻辑是，如果一群因式相乘等于零，则至少其中一个因式等于零)的方式来找到每一个这样的因素<ref name=Wu:XXSX/>。

甚至，在整个数学概念体系的形成过程中，我们用的主要方式就是分解和综合。例如，我们把直角的概念和三角形的概念合起来，称作直角三角形。进而，我们发现，[[:分类:演绎推理|演绎推理]]的基本结构也是组合，大前提和小前提组合，得到新的数学结构<ref name=Wu:XXSX/>。

甚至，在应用题中，我们也把一个事物以及相应的一个事物的量看作是更加基本的事物以及相应的由这些更加基本的事物的量按照相应的关系导致的计算构成的前面那个事物的量，然后，甚至在更复杂的问题中，这些事物还可以通过相应的关系来构成更加复杂的事物。因此，求解这样的问题的时候，我们实际上就是在用分解和综合。于是，我们关注关系，以及关系的嵌套。在数学研究中，人们往往把一个数学问题拆分成多个子问题，然后逐个攻克每个问题，最后再整合起来回答大问题。这也是分解和综合<ref name=Wu:XXSX/>。

计算机编程思想中的分治，把一个任务分解成多个更加容易完成的子任务，甚至进一步再次分解成更更加容易完成的子子任务，然后完成这些更加容易完成的任务，再合起来解决整个任务，也可以看作是这个思想的应用，或者说因式分解求方程这个分析方法的拓展<ref name=Wu:XXSX/>。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:知识的公理化体系

2023-11-30T07:53:54Z

Xiangcao：

[[分类:数学的典型思维方式]]

=定义和含义=
知识的公理化体系，指的是，找到最少数量的、最基本的假设当作[[:分类:公理|公理]]，把其他的命题都建立在这些[[:分类:公理|公理]]之上<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
在这里，它属于第三层知识，即学科大图景，是数学的典型思维方式。

=辅助理解的解释=
以下内容摘自《小学数学这样》<ref name=Wu:XXSX/>：
数学知识之间有联系。数学知识的大厦往往通过从定义和公理出发通过演绎逻辑来证明命题的方式来构建。并且，数学要求这些当作起点的公理和定义尽可能地少，所得到的命题尽可能地覆盖广。实际上，Euclid(欧几里得)的《几何原本》就是系统性梳理知识构成知识大厦的典范。Euclid对前人已经积累的命题做了记录，然后梳理了这些命题之间的关系，找到了一个只需要从几条假设和几个定义就可以构建起来其他命题的逻辑体系。当然，实际上，《几何原本》中的这个体系还有值得改进的地方，见例如Hilbert和Birkhoff的研究。但是，这个从尽可能少的假设和定义出发得到尽可能多甚至完备的命题的梦想，已经体现在《几何原本》之中。这就是系统化数学知识的梦想。否则，在需要几何知识来解决问题的时候，我们只能一条一条独立地来记忆和检索、使用每一个命题。而这样的记忆——检索——使用的学习和使用知识的方式的效率是很低很低的。实际上，由于系统化数学知识这个梦想如此地具有吸引力和接近成功，这甚至成了其他学科发展的典范——从定义和基本假设出发构建整个学科的知识。

[[:分类:数学结构|数学结构]]之间的关系，数学结构和现实启发的关系，数学结构和描述现实的关系，公理(基本假设)、定义和定理以及定理的证明之间的关系，使得整个数学成为一个紧密结合的系统。这样的系统性，有助于学习、运用和发展数学。

出于对更加复杂的系统和更加复杂的思考的描述的需求，数学结构之间存在着层次性关系，也就是说，有些数学结构更加具有通用性，有些数学结构是在这些更加具有通用性的概念的基础上出现的和定义的。由于有了数学结构之间的层次性关系，从一个领域的对象中提炼出来的数学结构，往往具有描述另一个领域的对象的能力。而这个时候，背后的原因也往往是两个领域的对象所包含的内部元素具有类似的关系。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:知识的公理化体系

2023-11-30T07:53:24Z

Xiangcao：建立内容为“分类:数学的典型思维方式 =定义和含义= 知识的公理化体系，指的是，找到最少数量的、最基本的假设当作公理，把其…”的新页面

[[分类:数学的典型思维方式]]

=定义和含义=
知识的公理化体系，指的是，找到最少数量的、最基本的假设当作公理，把其他的命题都建立在这些公理之上<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
在这里，它属于第三层知识，即学科大图景，是数学的典型思维方式。

=辅助理解的解释=
以下内容摘自《小学数学这样》<ref name=Wu:XXSX/>：
数学知识之间有联系。数学知识的大厦往往通过从定义和公理出发通过演绎逻辑来证明命题的方式来构建。并且，数学要求这些当作起点的公理和定义尽可能地少，所得到的命题尽可能地覆盖广。实际上，Euclid(欧几里得)的《几何原本》就是系统性梳理知识构成知识大厦的典范。Euclid对前人已经积累的命题做了记录，然后梳理了这些命题之间的关系，找到了一个只需要从几条假设和几个定义就可以构建起来其他命题的逻辑体系。当然，实际上，《几何原本》中的这个体系还有值得改进的地方，见例如Hilbert和Birkhoff的研究。但是，这个从尽可能少的假设和定义出发得到尽可能多甚至完备的命题的梦想，已经体现在《几何原本》之中。这就是系统化数学知识的梦想。否则，在需要几何知识来解决问题的时候，我们只能一条一条独立地来记忆和检索、使用每一个命题。而这样的记忆——检索——使用的学习和使用知识的方式的效率是很低很低的。实际上，由于系统化数学知识这个梦想如此地具有吸引力和接近成功，这甚至成了其他学科发展的典范——从定义和基本假设出发构建整个学科的知识。

数学结构之间的关系，数学结构和现实启发的关系，数学结构和描述现实的关系，公理(基本假设)、定义和定理以及定理的证明之间的关系，使得整个数学成为一个紧密结合的系统。这样的系统性，有助于学习、运用和发展数学。

出于对更加复杂的系统和更加复杂的思考的描述的需求，数学结构之间存在着层次性关系，也就是说，有些数学结构更加具有通用性，有些数学结构是在这些更加具有通用性的概念的基础上出现的和定义的。由于有了数学结构之间的层次性关系，从一个领域的对象中提炼出来的数学结构，往往具有描述另一个领域的对象的能力。而这个时候，背后的原因也往往是两个领域的对象所包含的内部元素具有类似的关系。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:归纳法

2023-11-30T07:41:21Z

Xiangcao：

[[分类:演绎推理]]
[[分类:逻辑推理]]

=定义和含义=
归纳法(注意，不是[[:分类:数学归纳法|数学归纳法]])，指的是，它从大量的具体的观测，或者是实验检验出发，试着提出稍微一般性的猜想和假设，但是这个猜想和假设是否正确，无法严格的来讨论。

归纳是很重要的，是发现知识的重要手段，但是归纳不是严格意义上的演绎，或者我们可以把归纳称之为带概率的[[:分类:演绎推理|演绎]]或者概率性演绎<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
在这里，它属于第三层知识，即学科大图景。

=辅助理解的解释=
归纳法有一个很重要的特点，就是从经验出发来得到结论<ref name=Shi:SXSX18/>。这样的思维方式是人类天生就会的，也是人们典型的学习的方式。但是，这样的思维方式在逻辑上并不是严格的。

当我们看到一只乌鸦并且这只乌鸦是黑的的时候，我们不会形成"天下乌鸦都是黑的"的认识但是，当我们看到十只乌鸦并且这十只乌鸦都是黑的的时候，就会产生一个猜想是不是"天下乌鸦都是黑的"。如果我们看到一万只乌鸦并且这一万只乌鸦都是黑的的时候，我们可能就会断定"天下乌鸦都是黑的"但是，其实，这个从有限——尽管可以很大——的观测样本猜测出来一个命题的"归纳"的过程，并不是完善的原则上，只要有一只乌鸦是白的，就可以否定这个命题。而我们不能保证看完了所有的乌鸦。因此，归纳并不是严格的逻辑推理方法<ref name=Wu:XXSX/>。

我们说归纳法不能当作一个数学论证的方法，最多当作演绎法的一种带有[[:分类:概率|概率]]的变形的时候，并不是说归纳法就是没用的东西。大量的[[:分类:定理|定理]]的提出，大量的科学研究中现象的提出，都需要依靠归纳法。直觉很多时候也是归纳法的表现。归纳法是非常重要的思维方式，只不过，不是数学论证的方式<ref name=Wu:XXSX/>。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
<ref name="Shi:SXSX18">史宁中，《数学基本思想18讲》，北京师范大学出版社，2016</ref>
</references>

分类:逻辑推理

2023-11-30T07:37:30Z

Xiangcao：

[[分类:批判性思维]]
[[分类:逻辑]]

=定义和含义=
逻辑推理，指的是，是一种思维方式，也可以说是分析方法，在这个思维过程中需要遵循逻辑的规则和原则，确保推理的有效性和结论的可靠性。

一般来说，逻辑推理主要分为[[:分类:演绎推理|演绎推理]]和[[:分类:归纳法|归纳推理]]。演绎推理从一般到特殊，保证结论的正确性；归纳推理则从特殊到一般<ref name=Wiki/>，提出一般性的猜想，但是不知道正确性，有待验证。

当然，如果你能把[[:分类:归纳法|归纳推理]]看作是带概率的演绎推理，那么这个世界上的推理过程，只有一种，就是演绎推理<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
逻辑推理属于第三层知识，即逻辑学下的学科大图景，它是[[:分类:批判性思维|批判性思维]]指导下的思维方式。

=辅助理解的解释=
但是逻辑推理下的演绎推理，是属于数学学科下的学科大图景，是数学学科的典型分析方法和思维方式。

在数学中，演绎推理通过从已知的公理和定理出发，严格按照逻辑规则推导出新的定理，帮助数学构建起了宏伟的数学大厦。

<references>
<ref name="Wiki">Wikipedia，维基百科</ref>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:逻辑推理

2023-11-30T07:36:55Z

Xiangcao：

[[分类:批判性思维]]
[[分类:逻辑]]

=定义和含义=
逻辑推理，指的是，是一种思维方式，也可以说是分析方法，在这个思维过程中需要遵循逻辑的规则和原则，确保推理的有效性和结论的可靠性。

一般来说，逻辑推理主要分为[[:分类:演绎推理|演绎推理]]和[[:分类:归纳法|归纳推理]]。演绎推理从一般到特殊，保证结论的正确性；归纳推理则从特殊到一般<ref name=Wiki/>，提出一般性的猜想，但是不知道正确性，有待验证。

当然，如果你能把归纳推理看作是带概率的演绎推理，那么这个世界上的推理过程，只有一种，就是演绎推理<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
逻辑推理属于第三层知识，即逻辑学下的学科大图景，它是[[:分类:批判性思维|批判性思维]]指导下的思维方式。

=辅助理解的解释=
但是逻辑推理下的演绎推理，是属于数学学科下的学科大图景，是数学学科的典型分析方法和思维方式。

在数学中，演绎推理通过从已知的公理和定理出发，严格按照逻辑规则推导出新的定理，帮助数学构建起了宏伟的数学大厦。

<references>
<ref name="Wiki">Wikipedia，维基百科</ref>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:误差

2023-11-30T07:32:33Z

Xiangcao：

[[分类:测量]]

=定义和含义=
误差，指的是，[[:分类:测量|测量]]出来的值和真实值之间的不同的那部分。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
误差是尽量要去消除的，但是由于工具、测量方法等等限制，其实基本上无法做到消除误差，如何尽可能减小误差，是各类科学研究和工程实际中永恒不变的话题。

==以长度测量为例==
我们举一个例子，是使用刻度尺去测量[[:分类:长度|长度]]的情况。这部分内容摘自《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>：

我们可以把对一个物体的测量写成下面的形式：
<div style="text-align:center;"><math>L=a . b \pm 0 . c \text { (最小单位 }) </math></div>

其中的 "<math> . </math>" 是小数点。第一部分 <math> a . b </math> 是测量得到的值，第二部分 <math> 0 . c </math> 是误差，第三部分是单位。其中, <math> a </math> 来自于米尺上的被测量物体占据的能够直接看出来的最小刻度的数量, <math> b </math> 是估计值, <math> c </math> 是估计的准确程度。

[[File:MiChiDeDuShu.png|300px|thumb|right|米尺的读数]](图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)

例如, 在图中, <math> a=2 </math>, <math> b </math> 差不多可以估计成 <math> 2 </math> 。 <math> 0 . c </math> 部分为了保险，我们假设一般来说，读数的人不会把到底靠近刻度 <math> 5 </math> 还是刻度 <math> 6 </math> 搞错。也就是说, 我们给它定成 <math> 0.5 </math> 。于是, 对于图中的木块, 我们得到读数：
<div style="text-align:center;"><math>L=2.2 \pm 0.5 \text { (厘米) }</math></div>

实际上，除了估计误差，我们还有其他的误差来源。例如，尺子不一定是完全放平的，被测量的物体的边界也不一定是完全直的，温度、湿度可能也会对尺子和被测量物体有影响。

对于这些偶然误差，实际上，我们是可以通过多次测量来改进的。也就是我们希望很多次的独立测量中，某些因素可以相互抵消。

不过，在这里，我们暂时只讨论单次测量的估计误差，不管偶然误差和多次测量。整数部分、估计部分、误差和[[:分类:单位|单位]]，是一个测量记录的必要的重要的内容。得到以最小单位的形式、记录的、表达式之后，我们还可以改成其他的单位。这就是单位换算。注意单位换算不改变哪一个是估计部分(记录的最后一位)，哪一个是误差(加减号<math> \pm </math>之后的部分)。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:长度

2023-11-30T07:32:04Z

Xiangcao：

[[分类:基本量]]

=定义和含义=
长度，指的是，用于衡量一条线长短的量，是物体从一端到另一端的[[:分类:距离|距离]]。

它是常用于一维的空间[[:分类:测量|测量]]，通常用来描述[[:分类:线段|线段]]、[[:分类:边|边]]的长短。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
当你用尺子量一张桌子有多长时，你实际上是在测量桌子的长度。

当你听到"天安门前的长安大街有3.8千米"时，这里的"3.8千米"就是描述长安大街的长度。

在数学中，长度是描述物体的一个典型的参数，经常与其他概念，例如[[:分类:面积|面积]]和[[:分类:体积|体积]]，相结合，帮助我们更好的来描述一个物体。

=长度的测量=
以下内容摘自《小学数学这样》<ref name=Wu:XXSX/>：
学生尺的最小刻度通常是毫米，总长度是几分米呢?这是与米尺和学生尺的作用分不开的。一般来说，米尺用来测量身高、柜子长度等长度差不多就是几个米的东西。对于测量它们来说，结果上有几个毫米的不准确是无所谓的。当然，有的时候裁缝和木匠用的米尺的最小刻度是毫米。这是因为在这些工作的某些场合，我们需要测量几米的东西并且准确率要达到毫米的量级。对于学生来说，大多数时候测量的东西、画的线是书本的大小，也就是几个分米的量级。这个时候，有可能误差几个毫米也是能够看出来或者影响将来的计算结果的。同时，我们也发现，这个时候我们不太关心毫米以下的不准确程度。因此，尺子的典型用途决定了其最小刻度和总长度。

[[File:MiChiDeDuShu.png|300px|thumb|right|米尺的读数]](图片来源于《小学数学这样学》<ref name=Wu:XXSX/>)

既然它们是不同的，我们也是不一定就需要更高的最小刻度的，那么，在我们用不同的尺子来做测量的时候，我们的测量结果要如何才能反映这个尺子的最小刻度呢?我们需要把测量得到的结果写成三个部分:
<div style="text-align:center;"><math> L=a . b \pm 0 . c(\text { 最小单位 }) </math></div>
其中的"<math> . </math>"是[[:分类:小数|小数点]]。第一部分 <math> a . b </math> 是测量得到的值, 第二部分 <math> 0 . c </math> 是[[:分类:误差|误差]]，第三部分是[[:分类:单位|单位]]。其中, <math> a </math> 来自于米尺上的被测量物体占据的能够直接看出来的最小刻度的数量, <math> b </math> 是估计值, <math> c </math> 是估计的准确程度。例如, 在右图中, <math> a=2 </math>, <math> b </math> 差不多可以估计成 <math> 2 </math> 。 <math> 0 . c </math> 部分为了保险, 我们假设一般来说, 读数的人不会把到底靠近刻度 <math> 5 </math> 还是刻度 <math> 6 </math> 搞错。也就是说, 我们给它定成 <math> 0.5 </math> 。于是, 对于图中的木块, 我们得到读数
<div style="text-align:center;"><math> L=2.2 \pm 0.5 \text { (厘米) } </math></div>

实际上, 除了估计误差, 我们还有其他的[[:分类:误差|误差]]来源。例如, 尺子不一定是完全放平的, 被测量的物体的边界也不一定是完全直的, 温度、湿度可能也会对尺子和被测量物体有影响。对于这些偶然误差, 实际上, 我们是可以通过多次测量来改进的。也就是我们希望很多次的独立测量中, 某些因素可以相互抵消。不过, 在这里, 我们暂时只讨论单次测量的估计误差,不管偶然误差和多次测量。整数部分、估计部分、误差和单位, 是一个测量记录的必要的重要的内容。得到以最小单位的形式、记录的、表达式之后,我们还可以改成其他的单位。这就是单位换算。注意单位换算不改变哪一个是估计部分 (记录的最后一位), 哪一个是误差 (加减号 <math> \pm </math> 之后的部分)。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:四舍五入

2023-11-30T07:17:26Z

Xiangcao：/* 通过四舍五入来改变有效数字 */

[[分类:有效数字]]

=定义和含义=
四舍五入，指的是，一种作用在数上的[[:分类:有效数字|有效数字]]的截断的表示方法。

具体做法是：如果我们需要在某一位截断一个数，我们看所需要截断的位的下一位:如果下一位大于等于<math> 5 </math>，则在所截断的最后一位的原来的数的基础上加上<math> 1 </math>(进位)来当作最后一位;否则保留原来的最后一位不动<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
这个名称很好理解，因为如果所需要截断的位的下一位小于<math> 5 </math>，也就是<math> 4 </math>以下，就会被舍去(不进位)；如果所需要截断的位的下一位大于等于<math> 5 </math>，就会向前一位数加上<math> 1 </math>(进位)，所以被形象的称为"四舍五入"。

下面是几个四舍五入的例子<ref name=Wu:XXSX/>：

例如, <math> 65.3254 </math> 保留到个位是 <math> 65 </math> , 保留到小数点之后一位是 <math> 65.3 </math> , 保留到小数点之后两位是 <math> 65.33 </math> ，小数点之后三位是 <math> 65.325 </math> ，保留到小数点之后四位是 <math> 65.3254 </math> 。保留下来的位数不能比原来的还长, 因此, 不能得到小数点之后五位的值。

==通过四舍五入来改变有效数字==
首先，[[:分类:四舍五入|四舍五入]]肯定是有信息损失的，你可以根据问题的具体情况来看这样的信息损失会不会对你的研究问题造成干扰。

在什么情况下我们会希望来改变有效数字的位数呢?例如，当我们用了一个最小单位是毫米的尺子来测量操场的直径，为了获得这个操场大概多大的感觉的时候，我们可能就需要改变有效数字<ref name=Wu:XXSX/>。例如，我们可能得到操场的直径是
<div style="text-align:center;"><math> d=65.3254 \pm 0.0005 \text { (米)} </math></div>

但是, 我们只想大概了解一下操场的直径, 所以, 可能知道大约多少米就够了。这个时候, 我们可以把测量结果写成
<div style="text-align:center;"><math> d=65 \text {(米)} </math></div>

注意, 这个时候, 后面的估计误差实际上还是 <math> 0.0005 </math> (米), 也就是 <math> 0.5 </math> (毫米) 。只不过, 我们不再写出来了, 因为这里的 <math> d=65 </math> (米) 本来就是一个近似的数，这个近似的数就可以通过四舍五入来得到。

其次，有种情况是需要做四舍五入来改变有效数字的<ref name=Wu:XXSX/>：

两个来自于不同的测量仪器的结果相加减。这个时候，我们只能够保留到那个更加不准的仪器的测量结果的有效数字, 而不是直接加起来。例如, 操场的一侧的半径的测量结果是 <math> 32.621 (米) (最小单位是厘米) </math>，另一侧的半径的测量结果是<math> 32.7244 (米) (最小单位是毫米) </math>，则直径为
<div style="text-align:center;"><math>d=32.621 \text { (米) }+32.7244(\text { 米 })=65.3454(\text { 米 })=65.345(\text { 米 }) </math></div>

其中，我们在第一步计算的时候保留了所有的[[:分类:数位|数位]]，在第二步我们按照有效数字更少的测量结果做了四舍五入。
<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:有效数字

2023-11-30T07:00:59Z

Xiangcao：

[[分类:测量]]
[[分类:数位]]

=定义和含义=
有效数字，指的是，一个数从第一位不为零的数字开始，到最后一个数字为止，这个数字的个数就称为这个数的有效数字的长度，或者称为有效数字的位数<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
当你使用测温计测量体温时，测量结果可能是<math> 36.5^{\circ} \mathrm{C} </math>。这里的数字"<math> 36.5 </math>"有三个有效数字，即"<math> 3 </math>"、"<math> 6 </math>"和"<math> 5 </math>"。同理，当你站在体重秤上时，如果秤的显示是25.44千克，那么这里有四个有效数字。

数字的长度,或者称为有效数字的位数。例如<math> 2.2 </math>的有效数字的位数是<math> 2 </math>，<math> 2.20 </math>的有效数字的位数是<math> 3 </math>，<math> 0.22 </math>的有效数字的位数是<math> 2 </math>，<math> 0.202 </math>的有效数字的位数是<math> 3 </math>，<math> 0.0022 </math>的有效数字的位数是<math> 2 </math>。此时，你会发现，只要零不出现在第一位，其他位的零都是有效数字的一部分，包括最后的零，因为数位告诉着我们数字的可靠的精确度<ref name=Wu:XXSX/>。

=为什么要使用有效数字=
以下内容摘自《小学数学这样》<ref name=Wu:XXSX/>：

从包含了最小单位的整数部分(通常能够准确地直接读出来)、分数部分(通常需要估计)、估计误差和单位的一个测量结果，我们能够反过来知道测量的仪器的最小精度等信息。这是非常有用的。不同的测量任务和目的也会需要我们来决定到底用什么测量仪器。但是，如果我们对这些直接测量记录做一个单位转换，这个信息还能够被读出来吗?单位转换一般来说会移动小数点的位置。例如:
<div style="text-align:center;"><math> \begin{aligned}
L & = & 2.2 \pm 0.5(\text { 厘米 })=22 \pm 5(\text { 毫米 }) \\
& = & 0.22 \pm 0.05(\text { 分米 })=0.022 \pm 0.005(\text { 米 })
\end{aligned} </math></div>
我们还是希望能够读出来哪一位是估计位，所用的测量仪器的最小精度是多少等信息。

我们来看 <math> 22.0 \pm 5 </math> (厘米) 这个测量记录。从 <math> 22.0 </math> 看来, 最后一位是 <math> 0 </math> , 其代表 <math> 0.1 </math> 厘米。也就是说, 估计出来的是 <math> 0.1 </math> 厘米那个数, 之前的包含各个[[:分类:数位|数位]]上的数都是准确测量出来的。首先, 这个和我们所用的仪器不相符。其次, 这个也和后面的估计误差的信息不相符： <math> \pm 5 </math> (厘米)表示, 我们的估计误差是 <math> 5 </math> 厘米, 而不是在 <math> 0.1 </math> 厘米的级别上。下面的单位转换是合适的:
<div style="text-align:center;"><math> \left.L=2.2 \pm 0.5(\text { 分米 })=22 \pm 5(\text { 厘米 })=2.2 \times 10^{2} \pm 5 \times 10^{1} \text { (毫米 }\right) </math></div>

其中最后的那个 <math> \times 10^{n} </math> 的部分，就是[[:分类:科学计数法|科学计数法]]。

有了有效数字的位数的定义, 坚持做单位换算的时候有效数字的位数不变, 同时保持测量结果的最后一位是估计位, 后面还跟着测量[[:分类:误差|误差]], 我们就可以在最大程度上保留下来测量仪器的信息。这样使得我们的测量结果更加有信息量, 更加有意义。

有的时候，我们可能会想改变有效数字的位数。这个时候怎么办? 这时候就需要有效数字截断的方法，比如[[:分类:四舍五入|四舍五入]]。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:有效数字

2023-11-30T06:57:46Z

Xiangcao：

[[分类:测量]]
[[分类:数位]]

=定义和含义=
有效数字，指的是，一个数从第一位不为零的数字开始，到最后一个数字为止，这个数字的个数就称为这个数的有效数字的长度，或者称为有效数字的位数<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
当你使用测温计测量体温时，测量结果可能是<math> 36.5^{\circ} \mathrm{C} </math>。这里的数字"<math> 36.5 </math>"有三个有效数字，即"<math> 3 </math>"、"<math> 6 </math>"和"<math> 5 </math>"。同理，当你站在体重秤上时，如果秤的显示是25.44千克，那么这里有四个有效数字。

数字的长度,或者称为有效数字的位数。例如<math> 2.2 </math>的有效数字的位数是<math> 2 </math>，<math> 2.20 </math>的有效数字的位数是<math> 3 </math>，<math> 0.22 </math>的有效数字的位数是<math> 2 </math>，<math> 0.202 </math>的有效数字的位数是<math> 3 </math>，<math> 0.0022 </math>的有效数字的位数是<math> 2 </math>。此时，你会发现，只要零不出现在第一位，其他位的零都是有效数字的一部分，包括最后的零，因为数位告诉着我们数字的可靠的精确度<ref name=Wu:XXSX/>。

=为什么要使用有效数字=
以下内容摘自《小学数学这样》<ref name=Wu:XXSX/>：

从包含了最小单位的整数部分(通常能够准确地直接读出来)、分数部分(通常需要估计)、估计误差和单位的一个测量结果，我们能够反过来知道测量的仪器的最小精度等信息。这是非常有用的。不同的测量任务和目的也会需要我们来决定到底用什么测量仪器。但是，如果我们对这些直接测量记录做一个单位转换，这个信息还能够被读出来吗?单位转换一般来说会移动小数点的位置。例如:
<div style="text-align:center;"><math> \begin{aligned}
L & = & 2.2 \pm 0.5(\text { 厘米 })=22 \pm 5(\text { 毫米 }) \\
& = & 0.22 \pm 0.05(\text { 分米 })=0.022 \pm 0.005(\text { 米 })
\end{aligned} </math></div>
我们还是希望能够读出来哪一位是估计位，所用的测量仪器的最小精度是多少等信息。

我们来看 <math> 22.0 \pm 5 </math> (厘米) 这个测量记录。从 <math> 22.0 </math> 看来, 最后一位是 <math> 0 </math> , 其代表 <math> 0.1 </math> 厘米。也就是说, 估计出来的是 <math> 0.1 </math> 厘米那个数, 之前的包含各个位上的数都是准确测量出来的。首先, 这个和我们所用的仪器不相符。其次, 这个也和后面的估计误差的信息不相符： <math> \pm 5 </math> (厘米)表示, 我们的估计误差是 <math> 5 </math> 厘米, 而不是在 <math> 0.1 </math> 厘米的级别上。下面的单位转换是合适的:
<div style="text-align:center;"><math> \left.L=2.2 \pm 0.5(\text { 分米 })=22 \pm 5(\text { 厘米 })=2.2 \times 10^{2} \pm 5 \times 10^{1} \text { (毫米 }\right) </math></div>

其中最后的那个 <math> \times 10^{n} </math> 的部分，就是[[:分类:科学计数法|科学计数法]]。

有了有效数字的位数的定义, 坚持做单位换算的时候有效数字的位数不变, 同时保持测量结果的最后一位是估计位, 后面还跟着测量误差, 我们就可以在最大程度上保留下来测量仪器的信息。这样使得我们的测量结果更加有信息量, 更加有意义。

有的时候，我们可能会想改变有效数字的位数。这个时候怎么办? 这时候就需要有效数字截断的方法，比如[[:分类:四舍五入|四舍五入]]。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:四舍五入

2023-11-30T06:32:01Z

Xiangcao：

[[分类:有效数字]]

=定义和含义=
四舍五入，指的是，一种作用在数上的[[:分类:有效数字|有效数字]]的截断的表示方法。

具体做法是：如果我们需要在某一位截断一个数，我们看所需要截断的位的下一位:如果下一位大于等于<math> 5 </math>，则在所截断的最后一位的原来的数的基础上加上<math> 1 </math>(进位)来当作最后一位;否则保留原来的最后一位不动<ref name=Wu:XXSX/>。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
这个名称很好理解，因为如果所需要截断的位的下一位小于<math> 5 </math>，也就是<math> 4 </math>以下，就会被舍去(不进位)；如果所需要截断的位的下一位大于等于<math> 5 </math>，就会向前一位数加上<math> 1 </math>(进位)，所以被形象的称为"四舍五入"。

下面是几个四舍五入的例子<ref name=Wu:XXSX/>：

例如, <math> 65.3254 </math> 保留到个位是 <math> 65 </math> , 保留到小数点之后一位是 <math> 65.3 </math> , 保留到小数点之后两位是 <math> 65.33 </math> ，小数点之后三位是 <math> 65.325 </math> ，保留到小数点之后四位是 <math> 65.3254 </math> 。保留下来的位数不能比原来的还长, 因此, 不能得到小数点之后五位的值。

==通过四舍五入来改变有效数字==
首先，[[:分类:四舍五入|四舍五入]]肯定是有信息损失的，你可以根据问题的具体情况来看这样的信息损失会不会对你的研究问题造成干扰。

其次，有种情况是需要做四舍五入来改变有效数字的<ref name=Wu:XXSX/>：

两个来自于不同的测量仪器的结果相加减。这个时候，我们只能够保留到那个更加不准的仪器的测量结果的有效数字, 而不是直接加起来。例如, 操场的一侧的半径的测量结果是 <math> 32.621 (米) (最小单位是厘米) </math>，另一侧的半径的测量结果是<math> 32.7244 (米) (最小单位是毫米) </math>，则直径为
<div style="text-align:center;"><math>d=32.621 \text { (米) }+32.7244(\text { 米 })=65.3454(\text { 米 })=65.345(\text { 米 }) </math></div>

其中，我们在第一步计算的时候保留了所有的[[:分类:数位|数位]]，在第二步我们按照有效数字更少的测量结果做了四舍五入。
<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:有效数字

2023-11-30T06:31:52Z

Xiangcao：

分类:测量

2023-11-30T06:04:33Z

Xiangcao：

=定义和含义=
测量，指的是，将一个研究对象的某些变量的具体数值测出来，为后续的思考、研究提供基础。

测量是绝大部分科学的基础，如何有效的设计方法进行变量的测量，是科学研究方法的核心。

测量时，为了实现测量尽可能的准确，也就是降低测量的[[:分类:误差|误差]]，于是使用什么工具、使用什么方法、使用什么[[:分类:单位|单位]]，都是测量需要考虑的问题。

=测量和数学的关系=
数学和现实，数学和科学是分不开的，而如果要让我们的数学与现实和科学有关系，则测量是最基本的一步。为了能够保留测量过程的尽可能多的信息，我们发现，测量结果的记录必须包含准确测量的部分、估计的部分、估计的[[:分类:误差|误差]]、[[:分类:单位|单位]]，同时还需要考虑[[:分类:有效数字|有效数字]]的长度。同时，在测量仪器和过程没有改变的情况下，我们还希望改变单位不带来测量结果的实际意义的改变。从这个要求出发，我们发现，我们需要在做单位转换的时候不改变有效数字的位数。于是，我们必须借助于一个叫作"[[:分类:科学计数法|科学计数法]]"的东西，才能真的做到转换单位不改变有效数字的位数。注意，科学计数法本身不能改变一个数的有效数字<ref name=Wu:XXSX/>。

<references>
<ref name="Wu:XXSX"> 吴金闪，《小数数学这样学》，浙江人民出版社，2023, http://www.systemsci.org/jinshanw/books</ref>
</references>

分类:极值

2023-11-30T05:52:34Z

Xiangcao：

[[分类:函数]]

=定义和含义=
极值，通俗来说，指的是，在一个[[:分类:函数|函数]]的一段指定的[[:分类:定义域|定义域]]内，函数的值(也就是[[:分类:因变量|因变量]])在这个范围内取得的最大值或最小值，就被成为这个函数在这个范围附近的极值。

严格来说，如果存在一个函数<math> f(x) </math>和某个点<math> c </math>，使得在<math> c </math>的一个邻域内（不包括<math> c </math>本身），所有<math> f(x) </math>的值都不大于<math> f(c) </math>，那么<math> f(c) </math>被称为函数在<math> c </math>处的局部极大值。也就是，若存在一个正数 <math> \delta </math> 使得对于所有满足<math> 0 < |x - c| < \delta </math>的 <math> x </math> ，都有<math> f(x) \leq f(c) </math>，则 <math> f(c) </math> 是局部极大值。

局部极小值同理。最终，如果在全部的定义域上，有一个局部最大值中的最大值，那么这个值就成为全局极大值。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在所有的优化问题中，我们经常关心一个问题或者一个函数取极值的情况，比如你在开店时如何使得成本最小或者如何做买卖从而使得利益最大，这些问题都可以变成一个极值问题。我们把一个问题通过数学建模转化为优化问题，那么我们就可以在某种程度上转化为极值问题来进行求解<ref name=Wu:SXJMCATL/>。这是一套适用范围非常非常广泛的解决问题的思路。因此，在很多地方，极值的概念都起着非常重要的作用。

<references>
<ref name="Wu:SXJMCATL"> 吴金闪，CATL《数学建模》课程</ref>
</references>

分类:极值

2023-11-30T05:52:11Z

Xiangcao：

[[分类:函数]]

=定义和含义=
极值，通俗来说，指的是，在一个[[:分类:函数|函数]]的一段指定的[[:分类:定义域|定义域]]内，函数的值(也就是[[:分类:因变量|因变量]])在这个范围内取得的最大值或最小值，就被成为这个函数在这个范围附近的极值。

严格来说，如果存在一个函数<math> f(x) </math>和某个点<math> c </math>，使得在<math> c </math>的一个邻域内（不包括<math> c </math>本身），所有<math> f(x) </math>的值都不大于<math> f(c) </math>，那么<math> f(c) </math>被称为函数在<math> c </math>处的局部极大值。也就是，若存在一个正数 <math> \delta </math> 使得对于所有满足<math> 0 < |x - c| < \delta </math>的 <math> x </math> ，都有<math> f(x) \leq f(c) </math>，则 <math> f(c) </math> 是局部极大值。

局部极小值同理。最终，如果在全部的定义域上，有一个局部最大值中的最大值，那么这个值就成为全局极大值。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在所有的优化问题中，我们经常关心一个问题或者一个函数取极值的情况，比如你在开店时如何使得成本最小或者如何做买卖从而使得利益最大，这些问题都可以变成一个极值问题。我们把一个问题通过数学建模转化为优化问题，那么我们就可以在某种程度上转化为极值问题来进行求解<ref name=Wu:SXJM/>。这是一套适用范围非常非常广泛的解决问题的思路。因此，在很多地方，极值的概念都起着非常重要的作用。

<references>
<ref name="Wu:SXJM"> 吴金闪，CATL《数学建模》课程</ref>
</references>

分类:极值

2023-11-30T05:51:40Z

Xiangcao：

[[分类:函数]]

=定义和含义=
极值，通俗来说，指的是，在一个[[:分类:函数|函数]]的一段指定的[[:分类:定义域|定义域]]内，函数的值(也就是[[:分类:因变量|因变量]])在这个范围内取得的最大值或最小值，就被成为这个函数在这个范围附近的极值。

严格来说，如果存在一个函数<math> f(x) </math>和某个点<math> c </math>，使得在<math> c </math>的一个邻域内（不包括<math> c </math>本身），所有<math> f(x) </math>的值都不大于<math> f(c) </math>，那么<math> f(c) </math>被称为函数在<math> c </math>处的局部极大值。也就是，若存在一个正数 <math> \delta </math> 使得对于所有满足<math> 0 < |x - c| < \delta </math>的 <math> x </math> ，都有<math> f(x) \leq f(c) </math>，则 <math> f(c) </math> 是局部极大值。

局部极小值同理。最终，如果在全部的定义域上，有一个局部最大值中的最大值，那么这个值就成为全局极大值。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在所有的优化问题中，我们经常关心一个问题或者一个函数取极值的情况，比如你在开店时如何使得成本最小或者如何做买卖从而使得利益最大，这些问题都可以变成一个极值问题。我们把一个问题通过数学建模转化为优化问题，那么我们就可以在某种程度上转化为极值问题来进行求解<ref name=Wu:SXJM/>。这是一套适用范围非常非常广泛的解决问题的思路。因此，在很多地方，极值的概念都起着非常重要的作用。

<references>
<ref name="Wu:SXJM"> 吴金闪，数学建模课程</ref>
</references>

分类:极值

2023-11-30T05:49:59Z

Xiangcao：

[[分类:函数]]

=定义和含义=
极值，通俗来说，指的是，在一个[[:分类:函数|函数]]的一段指定的[[:分类:定义域|定义域]]内，函数的值(也就是[[:分类:因变量|因变量]])在这个范围内取得的最大值或最小值，就被成为这个函数在这个范围附近的极值。

严格来说，如果存在一个函数<math> f(x) </math>和某个点<math> c </math>，使得在<math> c </math>的一个邻域内（不包括<math> c </math>本身），所有<math> f(x) </math>的值都不大于<math> f(c) </math>，那么<math> f(c) </math>被称为函数在<math> c </math>处的局部极大值。也就是，若存在一个正数 <math> \delta </math> 使得对于所有满足<math> 0 < |x - c| < \delta </math>的 <math> x </math> ，都有<math> f(x) \leq f(c) </math>，则 <math> f(c) </math> 是局部极大值。

局部极小值同理。最终，如果在全部的定义域上，有一个局部最大值中的最大值，那么这个值就成为全局极大值。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在所有的优化问题中，我们经常关心一个问题或者一个函数取极值的情况，比如你在开店时如何使得成本最小或者如何做买卖从而使得利益最大，这些问题都可以变成一个极值问题。我们把一个问题通过数学建模转化为优化问题，那么我们就可以在某种程度上转化为极值问题来进行求解。这是一套适用范围非常非常广泛的解决问题的思路。因此，在很多地方，极值的概念都起着非常重要的作用。

<references>
</references>

分类:极值

2023-11-30T05:47:40Z

Xiangcao：

[[分类:函数]]

=定义和含义=
极值，通俗来说，指的是，在一个[[:分类:函数|函数]]的一段指定的[[:分类:定义域|定义域]]内，函数的值(也就是[[:分类:因变量|因变量]])在这个范围内取得的最大值或最小值，就被成为这个函数在这个范围附近的极值。

严格来说，如果存在一个函数<math> f(x) </math>和某个点<math> c </math>，使得在<math> c </math>的一个邻域内（不包括<math> c </math>本身），所有<math> f(x) </math>的值都不大于<math> f(c) </math>，那么<math> f(c) </math>被称为函数在<math> c </math>处的局部极大值。也就是，若存在一个正数 <math> \delta </math> 使得对于所有满足<math> 0 < |x - c| < \delta </math>的 <math> x </math> ，都有<math> f(x) \leq f(c) </math>，则 <math> f(c) </math> 是局部极大值。

局部极小值同理。最终，如果在全部的定义域上，有一个局部最大值中的最大值，那么这个值就成为全局极大值。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在实际生活或者问题中，我们经常关心一个问题或者一个函数取极值的情况，比如你在开店时如何使得成本最小或者如何做促销活动使得利益最大，这些问题都可以变成一个极值问题。极值在优化问题中扮演着重要角色。

<references>
</references>

分类:极值

2023-11-30T05:47:20Z

Xiangcao：

[[分类:函数]]

=定义和含义=
极值，通俗来说，指的是，在一个[[:分类:函数|函数]]的一段指定的[[:分类:定义域|定义域]]内，函数的值(也就是[[:分类:因变量|因变量]])在这个范围内取得的最大值或最小值，就被成为这个函数在这个范围附近的极值。

严格来说，如果存在一个函数<math> f(x) </math>和某个点<math> c </math>，使得在<math> c </math>的一个邻域内（不包括<math> c </math>本身），所有<math> f(x) </math>的值都不大于<math> f(c) </math>，那么<math> f(c) </math>被称为函数在<math> c </math>处的局部极大值。也就是，若存在一个正数 <math> \delta </math> 使得对于所有满足<math> 0 < |x - c| < \delta </math>的 <math> x </math> ，都有<math> f(x) \leq f(c) </math>，则 <math> f(c) </math> 是局部极大值。

局部最小值同理。最终，如果在全部的定义域上，有一个局部最大值中的最大值，那么这个值就成为全局极大值。

=层次标注=
在这里，它属于第二层知识，即学科概念。

=辅助理解的解释=
在实际生活或者问题中，我们经常关心一个问题或者一个函数取极值的情况，比如你在开店时如何使得成本最小或者如何做促销活动使得利益最大，这些问题都可以变成一个极值问题。极值在优化问题中扮演着重要角色。

<references>
</references>