研究背景和问题

平衡态统计力学从Boltzman正则系统（或者巨正则系统）的平衡态分布开始，[math]\displaystyle{ \rho=e^{-\beta H}\frac{1}{Z} }[/math]。其中[math]\displaystyle{ {Z}=tr\left(e^{-\beta H}\right) }[/math]是归一化因子。这个分布函数的正确性是可以由实验检验的。那么，理论上，这个分布函数能不能证明，在什么条件下，系统会处在这样一个平衡态上？这就是平衡态统计力学的基本问题。目前并没有得到回答。

从^[1] 我们以及前人的计算中我们发现，如果假设外界是一个热平衡系统，则从Redfield出发，我们可以得到中心系统的稳态分布就是上面的热平衡分布。可是，这在理论上对于回答上面的问题没有意义啊，从一个热平衡推导出来另一个热平衡。

一个可能的途径：不断地和一个平凡的外界接触

现在，我们来回答是不是可以从要求更低的外界分布函数来推导出来热平衡分布。

例如，考虑自由粒子的平衡态高斯分布函数。我们可以从一个任意的初始分布函数出发，每一次接触一个热浴一定时间。让这个热浴的分布函数满足方差有限。这样，只要中心系统不断地和同一个热浴接触（也可以看作是中心系统连着一个热浴，这个热浴连着另一个热浴），就相当于中心极限定理的情形，于是自然就得到了高斯分布。这样，我们就从一个方差有限的热浴，得到了平衡分布（具体的Hamitonian的形式，还得写一写才知道）。

那么，对于更加一般的中心系统，是不是也能够写下来合适的热浴，利用这个和中心极限定理很像的机制呢？

下一步的工作

把自由粒子在方差有限热浴下趋向平衡的具体的热浴Hamiltonian以及耦合项写出来。然后，看看更加一般的某些中心系统，例如各种一维链，能否同样实现。计算过程中，还需要考虑每一次和热浴接触的[math]\displaystyle{ \Delta t }[/math]的问题。

参考文献