分类:考虑人口流动的传染病模型

背景

考虑到新冠肺炎的特殊情况——从一个城市通过人口流动传染全国并且在全国范围内实行了强制限流干预（尤其是对于重点人口流动来源城市），构建下面的粗糙指数型模型和更精确的传染病模型。先考虑一个城市的情况（其他城市当做外界），再一起考虑全国各个城市。

模型

先构造一个基于再生数的指数型的模型

这里的目标城市是北京等非病源城市。这里的特定城市为武汉，或者说整个湖北。这里的其他城市为中国除了湖北意外的所有城市。

也可以把湖北之外的所有城市当做目标城市，然后，把整个湖北当做特定城市。或者，武汉之外的湖北当做其他城市，武汉当做特定城市。

之所以做这样的区分是因为由于管控措施带来的不同城市来的人的传染行为不一样，模型上也需要分开处理。

变量定义和假设

1. [math]\displaystyle{ D_{t} }[/math]：武汉输入病人数量的存量。假设[math]\displaystyle{ t\leq 0 }[/math]的时候封城，之后不再有新来的武汉病人，都是封城之前积累的病人，总数记为[math]\displaystyle{ D_{0} }[/math]。之后每天随着被发现和死亡减少。假设武汉输入病人的传染性可以用每天的传染性参数[math]\displaystyle{ k_{D} }[/math]表示。暂时我们假设这个参数不依赖于时间。如果有必要，可以考虑这个参数的时间序列。
2. [math]\displaystyle{ d_{t} }[/math]：每天确诊的武汉输入病人的数量，流量。假设[math]\displaystyle{ d_{t} }[/math]（[math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math]）数据完全已知。
3. [math]\displaystyle{ o_{t} }[/math]：每天来自于其他城市（非本地，非武汉）输入病人的数量。假设[math]\displaystyle{ o_{t} }[/math]（[math]\displaystyle{ t\gt 0 }[/math]）数据完全已知。可以通过其他城市来的人口数量乘以平均感染率（这个要通过从数据中用某种方式估算出来，或者假设一个参数[math]\displaystyle{ \mathcal{o} }[/math]加入模型）来估计。这个[math]\displaystyle{ o_{t} }[/math]可以是一个矢量，分开考虑各个城市。
4. [math]\displaystyle{ O_{t} }[/math]：来自于其他城市（非本地，非武汉）输入病人数量的存量。假设来自于其他城市的输入病人的传染性可以用每天的传染性参数[math]\displaystyle{ k_{O} }[/math]表示。原则上我们还需要一个[math]\displaystyle{ O_{0} }[/math]来表示初始的来自于其他城市的输入病人数量。不过，可以把这个初始人数算到后面的[math]\displaystyle{ M_{0} }[/math]里面。
5. [math]\displaystyle{ m_{t} }[/math]：每天本地人——通过接触武汉病人、其他城市流动过来的病人、本地已经被感染的病人——被感染得病的人的数量，流量。假设[math]\displaystyle{ m_{t} }[/math]不能直接可观测。
6. [math]\displaystyle{ M_{t} }[/math]：本地被传染得病的未收治未死亡的人的存量。假设[math]\displaystyle{ M_{0} }[/math]是数据获取起点之前就累积的病人数量。整个[math]\displaystyle{ M_{t} }[/math]，包含[math]\displaystyle{ M_{0} }[/math]不可直接观测。假设这些本地被感染有没有被发现和收治的病人的传染性可以用再生数[math]\displaystyle{ k_{3} }[/math]表示。为了简化，可以假设[math]\displaystyle{ k_{C}=k_{O} }[/math]。注意[math]\displaystyle{ k_{D} }[/math]由于管控可能会不太一样。
7. [math]\displaystyle{ x_{t} }[/math]：每天所有被传染得病的人当中被发现和收治的数量，流量。平均来说，一个本地病人每天被医疗机构发现得病的概率为 [math]\displaystyle{ p }[/math]。
8. [math]\displaystyle{ X_{t} }[/math]：累积所有被传染得病的人当中被发现和收治的数量，存量。假设被医疗机构发现和收治之后的病人的传染性可以用传染性指数[math]\displaystyle{ k_{X} }[/math]表示。为了简化，可以假设[math]\displaystyle{ k_{X}=0 }[/math]。
9. [math]\displaystyle{ y_{t} }[/math]：每天没有被发现和收治但是死亡（或者完全自我康复，也可以把死亡和自我康复两种情况分开）的人数，流量。平均来说，一个在这座城市的病人每天死亡并且没有被医疗机构发现的概率为[math]\displaystyle{ q }[/math]。假设病人死亡之后不再会造成传染。如果需要考虑死亡之后病毒的扩散，也可以引入死亡之后每天的传染性参数[math]\displaystyle{ k_{Y} }[/math]。为了简化，可以假设[math]\displaystyle{ k_{Y}=0 }[/math]。
10. [math]\displaystyle{ Y_{t} }[/math]：累积没有被发现和收治但是死亡的人数，存量。
11. 由于潜伏期也可能具有传染性，把潜伏期和传染期当做一体，合起来称为传染期。传染期在这里被当做从被感染到被发现和收治之间的一段时间。假设这段时间病人的死亡概率和传播能力和病人相同。这是一个简化假设。如果需要更细节，可以考虑一个依赖于病程时间点的传染性和死亡率。假设目标城市输入性病人传染期为[math]\displaystyle{ \tau_{D} }[/math]，其他城市输入性病人传染期为[math]\displaystyle{ \tau_{O} }[/math]，本地病人传染期为[math]\displaystyle{ \tau_{C} }[/math]。配合从个案数据获得的平均一个病人所传染的其他病人的数量[math]\displaystyle{ R_{D}, R_{C}, R_{O} }[/math]，我们可以得到每一天这三种病人的传染能力可以表达为，[math]\displaystyle{ k_{D,C,O}=\frac{\ln{\left(R_{D,C,O}\right)}}{\tau_{D,C,O}}-1 }[/math]。同时，可以通过这个[math]\displaystyle{ \tau_{D,C,O} }[/math]估计出来，特定城市输入性病人、本地病人、其他城市输入性病人的[math]\displaystyle{ p }[/math]和[math]\displaystyle{ q }[/math]。例如，[math]\displaystyle{ \tau_{C}=\frac{1}{p} }[/math]。

迭代方程

1. [math]\displaystyle{ d_{t} }[/math]，完全已知，外生变量
2. [math]\displaystyle{ D_{t}=D_{0}\left(1-q\right)^{t}-\sum_{1\leq \tau \leq t}d_{\tau} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ o_{t} }[/math]，完全已知，外生变量
4. [math]\displaystyle{ O_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}o_{\tau}\left(1-p-q\right)^{\tau} }[/math]
5. [math]\displaystyle{ m_{t}=D_{t-1}k_{D}+O_{t-1}k_{O}+M_{t-1}k_{C}+X_{t-1}k_{X}+y_{t-1}k_{Y} }[/math]，或者[math]\displaystyle{ Y_{t-1}k_{Y} }[/math]，或者[math]\displaystyle{ Y_{t-1}k_{Y}+Y_{t-2}k_{Y} }[/math]，表示这些没有被收治的死亡病人不能马上得到处理
6. [math]\displaystyle{ M_{t}=M_{t-1}\left(1-p-q\right)+m_{t}+M_{0}\left(1-p-q\right)^{t-1} }[/math]，当期不被收治
7. [math]\displaystyle{ x_{t}=d_{t}+m_{t-1}p+o_{t-1}p+M_{0}\left(1-p-q\right)^{t-1}p }[/math]，可直接观测。这里有一个简化假设：所有病人都在被感染那天以[math]\displaystyle{ p }[/math]的概率被发现和收治。
8. [math]\displaystyle{ X_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}x_{\tau} }[/math]，可直接观测
9. [math]\displaystyle{ y_{t}=m_{t-1}q+O_{t-1}q+M_{0}\left(1-p-q\right)^{t-1}q }[/math]。这里有一个简化假设：所有病人都在被感染那天以[math]\displaystyle{ q }[/math]的概率死亡。
10. [math]\displaystyle{ Y_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}y_{\tau} }[/math]

需要把这个模型的[math]\displaystyle{ x_{t} }[/math]（[math]\displaystyle{ X_{t} }[/math]）或者[math]\displaystyle{ x_{t} }[/math]（[math]\displaystyle{ X_{t} }[/math]）的每一项解开，然后，和实际数据对比拟合出来待定参数。

简化情况1

忽略没有得到治疗的死亡率[math]\displaystyle{ q }[/math]，也就没有了[math]\displaystyle{ Y }[/math]。同时忽略其他城市的流入，忽略医院内感染，则

1. [math]\displaystyle{ d_{t} }[/math]，完全已知，外生变量
2. [math]\displaystyle{ D_{t}=D_{0}-\sum_{1\leq \tau \leq t}d_{\tau} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ m_{t}=D_{t-1}k_{D}+M_{t-1}k_{C} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ M_{t}=M_{t-1}\left(1-p\right)+m_{t}+M_{0}\left(1-p\right)^{t-1} }[/math]，当期不被收治
5. [math]\displaystyle{ x_{t}=d_{t}+m_{t-1}p+M_{0}\left(1-p\right)^{t-1}p }[/math]，可直接观测
6. [math]\displaystyle{ X_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}x_{\tau} }[/math]，可直接观测

只要给定[math]\displaystyle{ M_{0}, D_{0} }[/math]结合上面从实际数据统计出来的参数，其[math]\displaystyle{ X_{t} }[/math]就完全确定了。

接着忽略特定城市的流入（相当于直接计算特定城市的情况）

1. [math]\displaystyle{ m_{t}=M_{t-1}k_{C} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ M_{t}=M_{t-1}\left(1-p\right)+m_{t}+M_{0}\left(1-p\right)^{t-1} }[/math]，当期不被收治
3. [math]\displaystyle{ x_{t}=m_{t-1}p+M_{0}\left(1-p\right)^{t-1}p }[/math]，可直接观测
4. [math]\displaystyle{ X_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}x_{\tau} }[/math]，可直接观测

只要给定[math]\displaystyle{ M_{0} }[/math]结合上面从实际数据统计出来的参数，其[math]\displaystyle{ X_{t} }[/math]就完全确定了。

简化情况2

当[math]\displaystyle{ p=1 }[/math]（也就是自然[math]\displaystyle{ q=0 }[/math]了），也就是发现和收治能力足够，得病必然被发现和收治，的时候，方程简化为

1. [math]\displaystyle{ d_{t} }[/math]，完全已知，外生变量
2. [math]\displaystyle{ D_{t}=D_{0}-\sum_{1\leq \tau \leq t}d_{\tau} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ o_{t} }[/math]，完全已知，外生变量
4. [math]\displaystyle{ O_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}o_{\tau} }[/math]
5. [math]\displaystyle{ m_{t}=D_{t-1}k_{1}+O_{t-1}k_{2}+M_{t-1}k_{3} }[/math]
6. [math]\displaystyle{ M_{t}=m_{t} }[/math]
7. [math]\displaystyle{ x_{t}=d_{t}+m_{t-1}+o_{t-1} }[/math]，可直接观测。
8. [math]\displaystyle{ X_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}x_{\tau} }[/math]，可直接观测

进一步，保留输入病人[math]\displaystyle{ d_{t} }[/math]，不考虑输入病人[math]\displaystyle{ o_{t} }[/math]，有

1. [math]\displaystyle{ d_{t} }[/math]，完全已知，外生变量
2. [math]\displaystyle{ D_{t}=D_{0}-\sum_{1\leq \tau \leq t}d_{\tau} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ m_{t}=D_{t-1}k_{1}+M_{t-1}k_{3} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ M_{t}=m_{t} }[/math]
5. [math]\displaystyle{ x_{t}=d_{t}+m_{t-1} }[/math]，可直接观测。
6. [math]\displaystyle{ X_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}x_{\tau} }[/math]，可直接观测

注意：如果要用这个模型，则从[math]\displaystyle{ x_{t}=d_{t}+m_{t-1} }[/math]和[math]\displaystyle{ d_{t} }[/math]中得到[math]\displaystyle{ m_{t-1} }[/math]，然后，从[math]\displaystyle{ m_{t}=D_{t-1}k_{1}+m_{t-1}k_{3} }[/math]中可以得到[math]\displaystyle{ k_{1},k_{3} }[/math]。当然，更一般的情况，需要考虑到有限的[math]\displaystyle{ p }[/math]。

更进一步，不考虑输入病人[math]\displaystyle{ d_{t}, o_{t} }[/math]，有

1. [math]\displaystyle{ m_{t}=M_{t-1}k_{3} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ M_{t}=m_{t} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ x_{t}=m_{t-1} }[/math]，可直接观测
4. [math]\displaystyle{ X_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}x_{\tau} }[/math]，可直接观测

于是，[math]\displaystyle{ x_{t}=M_{0}k_{3}^{t-1} }[/math]，[math]\displaystyle{ X_{t}=M_{0}\frac{1-k_{3}^{t}}{1-k_{3}} }[/math]。回到最简单的再生数模型。

这个不考虑输入病人[math]\displaystyle{ d_{t}, o_{t} }[/math]的简化，如果假设所有的病人都继续传播，而不是仅仅那些没有收治的在传播，则

1. [math]\displaystyle{ m_{t}=M_{t-1}k_{3} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ M_{t}=M_{t-1}+m_{t}=\left(1+k_{3}\right)M_{t-1} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ x_{t}=m_{t-1} }[/math]，可直接观测
4. [math]\displaystyle{ X_{t}=\sum_{1\leq \tau \leq t}x_{\tau} }[/math]，可直接观测

于是，[math]\displaystyle{ x_{t}=M_{0}\left(1+k_{3}\right)^{t-1}k_{3} }[/math]，[math]\displaystyle{ X_{t}=M_{0}\left(1+k_{3}\right)^{t}=M_{t} }[/math]。当然，实际上总要考虑收治（可能有限概率收治）和死亡的。

考虑潜伏期

假设潜伏期为感染后的L天，L天之内每一天的被发现概率为[math]\displaystyle{ p^{1},p^{2}, ..., p^{L} }[/math]，死亡率为[math]\displaystyle{ q^{1},q^{2}, ..., q^{L} }[/math]，自己好了的概率为[math]\displaystyle{ r^{1},r^{2}, ..., r^{L} }[/math]，其在潜伏期的感染能力用再生数[math]\displaystyle{ KL^{1},KL^{2}, ..., KL^{L} }[/math]表示。一个病人在L天之后的状态可能是被发现和收治了，死亡了，自己好了，没有被发现也没有死也没有自己好——发病了——能够继续传染。最后一种可能的几率，平均来说，是[math]\displaystyle{ 1-p^{1}-q^{1}-r^{1},1-p^{2}-q^{2}-r^{2}, ..., 1-p^{L}-q^{L}-r^{L} }[/math]。把这些概率加到迭代方程中就行：这时候需要把病人数量分组，成为处于潜伏时间为[math]\displaystyle{ l=1,2,...L }[/math]的病人的数量。

需要的时候在把这个方程写下来。

多城市的情形

1. [math]\displaystyle{ d\left(t\right)_{i} }[/math]，完全已知，外生变量
2. [math]\displaystyle{ D\left(t\right)_{i}=D\left(0\right)_{i}\left(1-q_{i}\right)^{t}-\sum_{1\leq \tau \leq t}d\left(\tau\right)_{i} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ o\left(t\right)^{j}_{i} }[/math]，完全已知，外生变量
4. [math]\displaystyle{ O\left(t\right)_{i}=\sum_{j,1\leq \tau \leq t}o\left(\tau\right)^{j}_{i}\left(1-p_{i}-q_{i}\right) }[/math]，其他城市不包含武汉，不包含所关心的城市自己
5. [math]\displaystyle{ m\left(t\right)_{i}=D\left(t-1\right)_{i}k_{1,i}+O\left(t-1\right)_{i}k_{2,i}+M\left(t-1\right)_{i}k_{3,i}+X\left(t-1\right)_{i}k_{4,i}+y\left(t-1\right)_{i}k_{5,i} }[/math]
6. [math]\displaystyle{ M\left(t\right)_{i}=\sum_{1\leq \tau \leq t-1}m\left(\tau\right)_{i}\left(1-p_{i}-q_{i}\right)+m\left(t\right)_{i}+M\left(0\right)_{i}\left(1-p_{i}-q_{i}\right)^{t-1} }[/math]，当期不被收治，相当于假设潜伏期一个单位时间
7. [math]\displaystyle{ x\left(t\right)_{i}=d\left(t\right)_{i}+m\left(t-1\right)_{i}p_{i}+o\left(t-1\right)_{i}p_{i}+M\left(0\right)_{i}\left(1-p_{i}-q_{i}\right)^{t-1}p }[/math]，可直接观测
8. [math]\displaystyle{ X\left(t\right)_{i}=\sum_{1\leq \tau \leq t}x\left(t\right)_{i} }[/math]，可直接观测
9. [math]\displaystyle{ y\left(t\right)_{i}=m\left(t-1\right)_{i}q_{i}+O\left(t-1\right)_{i}q_{i}+M\left(0\right)\left(1-p_{i}-q_{i}\right)^{t-1}q_{i} }[/math]。这里有一个简化假设：所有病人都在被感染那天以[math]\displaystyle{ q }[/math]的概率死亡。
10. [math]\displaystyle{ Y\left(t\right)_{i}=\sum_{1\leq \tau \leq t}y\left(t\right)_{i} }[/math]

微分方程模型（反应扩散方程）

单个城市的反应方程，考虑武汉输入和其他城市输入

1. [math]\displaystyle{ S\left(t\right) }[/math]：一个城市中的易感者人数。可以分为[math]\displaystyle{ S_{C}\left(t\right) }[/math]（本城市中的易感人数），[math]\displaystyle{ S_{D}\left(t\right) }[/math]（来自于特定城市的在本市中的易感人数），[math]\displaystyle{ S_{O}\left(t\right) }[/math]（来自于其他本城市中的在本市的易感人数）。[math]\displaystyle{ S\left(t\right)=S_{C}\left(t\right)+S_{D}\left(t\right)+S_{O}\left(t\right) }[/math]。
2. [math]\displaystyle{ L\left(t\right) }[/math]：一个城市中的潜伏者人数。可以分为[math]\displaystyle{ L_{C}\left(t\right) }[/math]（本城市中的潜伏者人数），[math]\displaystyle{ L_{D}\left(t\right) }[/math]（来自于特定城市的在本市中的潜伏者人数），[math]\displaystyle{ L_{O}\left(t\right) }[/math]（来自于其他本城市中的在本市的潜伏者人数）。[math]\displaystyle{ L\left(t\right)=L_{C}\left(t\right)+L_{D}\left(t\right)+L_{O}\left(t\right) }[/math]。
3. [math]\displaystyle{ I\left(t\right) }[/math]：一个城市中的感染者人数。可以分为[math]\displaystyle{ I_{C}\left(t\right) }[/math]（本城市中的感染者人数），[math]\displaystyle{ I_{D}\left(t\right) }[/math]（来自于特定城市的在本市中的感染者人数），[math]\displaystyle{ I_{O}\left(t\right) }[/math]（来自于其他本城市中的在本市的感染者人数）。[math]\displaystyle{ I\left(t\right)=I_{C}\left(t\right)+I_{D}\left(t\right)+I_{O}\left(t\right) }[/math]。
4. [math]\displaystyle{ X\left(t\right) }[/math]：一个城市中的被收治者人数。假设收治之后不管康复还是死亡，都不再能得病和传染。如果情况变了，将来还要在分开收治之后的康复和死亡。[math]\displaystyle{ X\left(t\right)=X_{C}\left(t\right)+X_{D}\left(t\right)+X_{O}\left(t\right) }[/math]。如果这些被收治者中如果可以区分[math]\displaystyle{ X_{CC}\left(t\right) }[/math]（本市通过接触本市人得病）、[math]\displaystyle{ X_{CD}\left(t\right) }[/math]（本市通过接触特定输入城市的输入病人得病）、[math]\displaystyle{ X_{CO}\left(t\right) }[/math]（本市通过接触其他城市的输入病人得病）、[math]\displaystyle{ X_{DC}\left(t\right) }[/math]（特定输入城市的人通过接触本市的病人得病）、[math]\displaystyle{ X_{OC}\left(t\right) }[/math]（其他城市的人通过接触本市人得病）、[math]\displaystyle{ X_{OD}\left(t\right) }[/math]（其他城市的人通过接触特定城市的病人得病）、[math]\displaystyle{ X_{DO}\left(t\right) }[/math]（特定城市的人通过接触其他城市的病人得病）、[math]\displaystyle{ X_{DC}\left(t\right) }[/math]（特定城市的人通过接触本市的病人得病）、[math]\displaystyle{ X_{DD}\left(t\right) }[/math]（特定城市的人通过特定城市的病人得病）、[math]\displaystyle{ X_{OO}\left(t\right) }[/math]（其他城市的人通过其他城市的病人得病），就更好了。注意，仅仅这里的[math]\displaystyle{ X\left(t\right) }[/math]是可以观测的。其他量目前的传染病控制方式下不能直接观测。
5. [math]\displaystyle{ Y\left(t\right) }[/math]：一个城市中的未被收治者中的恢复者和死亡人数。假设恢复和死亡之后都不再得病和传染。如果死亡当时由于尸体处理等问题会传染更多的人，则将来还要分开未收治的康复和死亡。可以分为[math]\displaystyle{ Y_{C}\left(t\right) }[/math]（本城市中的未被收治者中的恢复者和死亡人数），[math]\displaystyle{ Y_{D}\left(t\right) }[/math]（来自于特定城市的在本市中的未被收治者中的恢复者和死亡人数），[math]\displaystyle{ Y_{O}\left(t\right) }[/math]（来自于其他本城市中的在本市的未被收治者中的恢复者和死亡人数）。[math]\displaystyle{ Y\left(t\right)=Y_{C}\left(t\right)+Y_{D}\left(t\right)+Y_{O}\left(t\right) }[/math]。
6. [math]\displaystyle{ \xi_{\mu}\left(t\right) }[/math]表示从特定城市之外的其他城市输入到当地的总人口。在一定条件下，可以先不考虑这个其他城市的输入人口。

缺陷：没有直接考虑带有目标性的隔离政策（而是通过设定另一个感染率来粗略描述），例如凡是能够查到的接触过确诊病人的都隔离等措施。模型可以以后再改进。不考虑迁移到其他城市。

微分方程：

定义简便记号：

1. [math]\displaystyle{ N\left(t\right)=S\left(t\right)+L\left(t\right)+I\left(t\right) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ S\left(t\right)=S_{C}\left(t\right)+S_{D}\left(t\right)+S_{O}\left(t\right) }[/math]
3. [math]\displaystyle{ L\left(t\right)=L_{C}\left(t\right)+L_{D}\left(t\right)+L_{O}\left(t\right) }[/math]，[math]\displaystyle{ I\left(t\right)=I_{C}\left(t\right)+I_{D}\left(t\right)+I_{O}\left(t\right) }[/math]
4. [math]\displaystyle{ X\left(t\right)=X_{C}\left(t\right)+X_{D}\left(t\right)+X_{O}\left(t\right) }[/math]，[math]\displaystyle{ I\left(t\right)=Y_{C}\left(t\right)+Y_{D}\left(t\right)+Y_{O}\left(t\right) }[/math]。后面的几项可以用矢量记号表示，例如[math]\displaystyle{ S\left(t\right)=\sum_{\mu=C,D,O}S_{\mu}\left(t\right) }[/math]。

演化方程：

1. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}S_{C}\left(t\right) = -\beta^{CC}\frac{S_{C}\left(t\right)I_{C}\left(t\right)}{N\left(t\right)} -\beta^{CD}\frac{S_{C}\left(t\right)I_{D}\left(t\right)}{N\left(t\right)} -\beta^{CO}\frac{S_{C}\left(t\right)I_{O}\left(t\right)}{N\left(t\right)}-\alpha^{CC}\frac{S_{C}\left(t\right)L_{C}\left(t\right)}{N\left(t\right)}-\alpha^{CD}\frac{S_{C}\left(t\right)L_{D}\left(t\right)}{N\left(t\right)}-\alpha^{CO}\frac{S_{C}\left(t\right)L_{O}\left(t\right)}{N\left(t\right)} }[/math]，用矢量几号表示为，[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}S_{\mu}\left(t\right) = -\sum_{\nu}\beta^{\mu\nu}\frac{S_{\mu}\left(t\right)I_{\nu}\left(t\right)}{N\left(t\right)}-\sum_{\nu} \alpha^{\mu\nu}\frac{S_{\mu}\left(t\right)L_{\nu}\left(t\right)}{N\left(t\right)} + s_{\mu}\xi_{\mu}\left(t\right)\delta{\mu O} }[/math]。下面的方程就用矢量形式写，而不是每一项都写出来了。其中多出来的[math]\displaystyle{ s_{\mu}\xi_{\mu}\left(t\right)\delta{\mu O} }[/math]表示其他城市输入到当地的易感人群数量：[math]\displaystyle{ s_{\mu} }[/math]输入源中易感人群比例，[math]\displaystyle{ \xi_{\mu}\left(t\right) }[/math]输入总人速率。当[math]\displaystyle{ \mu=C }[/math]这一项为零。当[math]\displaystyle{ \mu=D }[/math]这一项也为零（特定城市已经封城，不再直接输出到当地）。当[math]\displaystyle{ \mu=O }[/math]这一项是一个已知时间序列（外生变量）。
2. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}L_{\mu}\left(t\right) = \sum_{\nu}\beta^{\mu\nu}\frac{S_{\mu}\left(t\right)I_{\nu}\left(t\right)}{N\left(t\right)} +\sum_{\nu} \alpha^{\mu\nu}\frac{S_{\mu}\left(t\right)L_{\nu}\left(t\right)}{N\left(t\right)} -\gamma^{\mu}L_{\mu}\left(t\right)+l_{\mu}\xi_{\mu}\left(t\right)\delta{\mu O} }[/math]。其中多出来的[math]\displaystyle{ l_{\mu}\xi_{\mu}\left(t\right)\delta{\mu O} }[/math]表示其他城市输入到当地的潜伏者数量：[math]\displaystyle{ l_{\mu} }[/math]输入源中潜伏者比例。
3. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}I_{\mu}\left(t\right) = \gamma^{\mu}L_{\mu}\left(t\right)-\eta^{\mu}_{X}I_{\mu}\left(t\right)-\eta^{\mu}_{Y}I_{\mu}\left(t\right)+i_{\mu}\xi_{\mu}\left(t\right)\delta{\mu O} }[/math]。其中多出来的[math]\displaystyle{ i_{\mu}\xi_{\mu}\left(t\right)\delta{\mu O} }[/math]表示其他城市输入到当地的发病人数量：[math]\displaystyle{ s_{\mu} }[/math]输入源中发病人比例。
4. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}X_{\mu}\left(t\right) = \eta^{\mu}_{X}I_{\mu}\left(t\right) }[/math]，可观测量，本地病人数量 [math]\displaystyle{ X_{C}\left(t\right) }[/math]，特定城市输入病人数量 [math]\displaystyle{ X_{D}\left(t\right) }[/math]，其他城市输入病人数量 [math]\displaystyle{ X_{O}\left(t\right) }[/math]。
5. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}Y_{\mu}\left(t\right) = \eta^{\mu}_{Y}I_{\mu}\left(t\right) }[/math]

任务，从可观测量 [math]\displaystyle{ X_{\mu}\left(t\right) }[/math]的已知时间序列中，甚至 [math]\displaystyle{ X_{\mu}\left(t\right) =\sum_{\mu}X_{\mu}\left(t\right) }[/math]中估计出来再生数^[1]（有效再生数的求解方法就是把上面的方程在不动点附近展开成线性近似，然后求出来Jacobian矩阵的本征值，当所有本征值都小于0——相当于再生数等于1——的时候，就得到了再生数。最好能够区分来自于不同接触类型[math]\displaystyle{ \beta^{\mu\nu}, \alpha^{\mu\ nu}, \gamma^{\mu}, \eta_{X,Y}^{\mu} }[/math]的有效再生数）。注意初始值[math]\displaystyle{ S_{D}\left(0\right), L_{D}\left(0\right), I_{D}\left(0\right), X_{D}\left(0\right), Y_{D}\left(0\right) }[/math]的影响，以及外生变量[math]\displaystyle{ \xi\left(t\right), s_{O}, l_{O}, i_{O} }[/math]对有效再生数的影响。

两区域简化模型：千万要减少区域间流动

考虑一个只有两个区域，区域内部均匀混合，区域之间存在流动的传染病模型。为了简化问题，我们仅仅考虑SIR。假设两个区域完全对称，假设流动人口不受特殊隔离。假设被收治或者被治愈或者被死亡之后，就不再进入接触和下一轮病情。这样，我们直接忽略[math]\displaystyle{ R }[/math]的数量。

1. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}S_{1}\left(t\right) = -\beta\frac{S_{1}\left(t\right)I_{1}\left(t\right)}{N_{1}\left(t\right)} + J^{2}_{1}\frac{S_{2}\left(t\right)}{N_{2}\left(t\right)}-J^{1}_{2}\frac{S_{1}\left(t\right)}{N_{1}\left(t\right)} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}I_{1}\left(t\right) = \beta\frac{S_{1}\left(t\right)I_{1}\left(t\right)}{N_{1}\left(t\right)} + J^{2}_{1}\frac{I_{2}\left(t\right)}{N_{2}\left(t\right)}-J^{1}_{2}\frac{I_{1}\left(t\right)}{N_{1}\left(t\right)} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}S_{2}\left(t\right) = -\beta\frac{S_{2}\left(t\right)I_{2}\left(t\right)}{N_{2}\left(t\right)} + J^{1}_{2}\frac{S_{1}\left(t\right)}{N_{1}\left(t\right)}-J^{2}_{1}\frac{S_{2}\left(t\right)}{N_{2}\left(t\right)} }[/math]
4. [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}I_{2}\left(t\right) = \beta\frac{S_{2}\left(t\right)I_{2}\left(t\right)}{N_{2}\left(t\right)} + J^{1}_{2}\frac{I_{1}\left(t\right)}{N_{1}\left(t\right)}-J^{2}_{1}\frac{I_{2}\left(t\right)}{N_{2}\left(t\right)} }[/math]

其中，[math]\displaystyle{ N_{\mu}\left(t\right)= S_{\mu}\left(t\right)+I_{\mu}\left(t\right) }[/math]。为了进一步简化，我们把这里的[math]\displaystyle{ N_{\mu}\left(t\right) }[/math]当做常数（实际上它们是t的函数，不过，由于将来我们只做无病平衡点附近的线性稳定性分析，这个变化是个高阶项，忽略问题不大）。

顺便，线性稳定性分析的意思是，在某个状态下，由于某个因素——例如初始条件产生了随机的小小的变化——产生了对这个状态的一个偏离，系统是否会回到这个状态，还是从这个状态离开跑到其他状态上去。在传染病里面，这个无病平衡点附近的线性稳定性分析的含义就是，看看系统对于没有被感染者的这个状态来说，一个小小的偏离——例如忽然多了很少的数量的病人——是否会造成传染病的传播。

于是，我们得到无病平衡点为[math]\displaystyle{ \left(S_{1},I_{1},S_{2},I_{2}\right)=\left(N,0,N,0\right) }[/math]。对这个状态做线性稳定性分析，也就是把原始的微分方程线性化，得到

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\left(\begin{matrix}\delta S_{1}\left(t\right)\\ \delta I_{1}\left(t\right) \\ \delta S_{2}\left(t\right) \\ \delta I_{2}\left(t\right)\end{matrix}\right) = \left[\begin{matrix}-j & -\beta & j & 0 \\ 0 & \beta-\gamma - j & 0 & j \\ j & 0 & -j & -\beta\\ 0 & j & 0 & \beta-\gamma-j\end{matrix}\right]\left(\begin{matrix}\delta S_{1}\left(t\right)\\ \delta I_{1}\left(t\right) \\ \delta S_{2}\left(t\right) \\ \delta I_{2}\left(t\right)\end{matrix}\right) }[/math]

其中[math]\displaystyle{ j=\frac{J}{N} }[/math]。

可以算出来，中间的矩阵的本征值为[math]\displaystyle{ \beta - 2j - \gamma, \beta - \gamma, -\sqrt{2}j, \sqrt{2}*j }[/math]。我们发现，当[math]\displaystyle{ j=0 }[/math]的时候，回到已知的结果，[math]\displaystyle{ \beta - \gamma, \beta - \gamma, -0, 0 }[/math]，也就是说，当[math]\displaystyle{ \beta \gt \gamma }[/math]的时候，本征值大于零，会造成病人数量增长，也就是传染病能传播。于是，自然就得到这个模型的基本再生数为[math]\displaystyle{ R_{0}=\frac{\beta}{\gamma} }[/math]。现在，我们来看[math]\displaystyle{ j\neq 0 }[/math]的时候，我们发现其中大于零的本征值[math]\displaystyle{ \sqrt{2}j }[/math]会一直存在，也就是说，理论上，只要小小的[math]\displaystyle{ j\neq 0 }[/math]就会造成传染病的传播。当然，实际上，真的很小的时候，只需要对流动人口隔离或者专门收治，或者无差别隔离和收治，就可以抵抗这个小小的[math]\displaystyle{ j }[/math]。

但是，我们一定要看到，就这个小小的[math]\displaystyle{ j }[/math]就会把原来不会造成传染的系统[math]\displaystyle{ R_{0}=\frac{\beta}{\gamma}\lt 1 }[/math]变成一个能够传染的系统。如果愿意，我们可以在方程中引入治疗或者隔离措施的描述，看看，有和没有这个[math]\displaystyle{ j }[/math]对这些措造成的若果要保证把系统调回来到不传染状态的压力的不同。

完整的把[math]\displaystyle{ N_{\mu}\left(t\right) }[/math]看做演化变量的计算，就只能靠求微分方程的数值解了。我这里就不求了。

多个城市的反应扩散方程，考虑武汉输入和其他城市输入

只要在前面的方程上增加[math]\displaystyle{ {ij}, {\mu\nu} }[/math]角标就可以，例如[math]\displaystyle{ S^{i}_{\mu} }[/math]表示[math]\displaystyle{ i }[/math]城市的来自于[math]\displaystyle{ \mu }[/math]的易感人群数量。方程形式类似。

考虑有目标的控制措施的模型

参考文献