分类:量子非平衡统计基本问题
研究背景和问题
平衡态统计力学从Boltzman正则系统（或者巨正则系统）的平衡态分布开始，[math]\displaystyle{ \rho=e^{-\beta H}\frac{1}{Z} }[/math]。其中[math]\displaystyle{ {Z}=tr\left(e^{-\beta H}\right) }[/math]是归一化因子。这个分布函数的正确性是可以由实验检验的。那么，理论上，这个分布函数能不能证明，在什么条件下，系统会处在这样一个平衡态上？这就是平衡态统计力学的基本问题。目前并没有得到回答。
来到非平衡，首先，我们连这样的能够通过实验检验的经验公式都没有。其次，由于我们不知道上面的平衡分布的条件和推导过程，我们也没有办法通过修改相应的条件来得到非平衡分布。尽管，我们还有有一个大概的图景的：当系统处在一个热浴（具有一个温度、一个化学势，热浴能够和系统交换能量和粒子）的时候，系统的长时状态是热平衡；当系统连着两个热浴的时候，系统的长时状态是非平衡定态，系统内部存在能量或者物质的流。可是，我们并不知道如何运用这样的图景。另外，还有一个逻辑上的根本问题，那个热浴又怎么来的——本身是一个具有特定宏观参数（温度、化学势）的平衡大系统？难道通过另一个更大的系统，那那个系统的平衡态又是如何保证的？
因此，这平衡统计力学的基本问题和非平衡定态的统计力学基本问题这两个问题是联系在一起的，目前来说，都没有得到解决。解决了条件和推导的问题，我们至少就有了一个能够在给定的情况下，计算出来非平衡定态的框架，就可以做实验检验了。
另一条部分解决问题的思路
在我们自己的工作里，我们先不去回答上面的根本问题，而是直接用上面的大概图景：能不能在假定一个热浴的情况下把平衡态分布函数推导出来，然后对两个热浴的情形用同样的推导，来得到非平衡定态。这个技术叫做投影算符技术（参考[1]及其文献）。
我们先用简单的系统——完全能够解析上求出来本征态的系统——来从理论上尝试了这样的道路，发现：在单个热浴的时候确实能够把平衡态计算出来，并且在推广到两个热浴的时候，仍然能够完成这个计算。当然，这个想法在我们自己的工作之前就已经被提出来和实现[2]（更多文献综述请参考[1]）。
接着，当我们用同样的思路来解决更加一般的系统的非平衡定态的计算的时候，我们遇到了计算技术的问题：具有相互作用的不能通过解析方法求出来本征态的系统的非平衡定态的计算，需要求解一个非常高维的方程。例如对于一个[math]\displaystyle{ N }[/math]个自旋的量子系统，我们需要求解一个[math]\displaystyle{ 4^{N}\times 4^{N} }[/math]的矩阵的本征向量问题或者矩阵逆问题。在一般的量子力学里面，计算任务是求解一个[math]\displaystyle{ 2^{N} \times 2^{N} }[/math]的矩阵的本征值问题。因此，计算的难度比通常的量子力学问题还要整整翻一番（其实是翻两番）。
于是，理论问题就成了计算问题。联系到高维量子力学系统的求解，我们在这里同样把量子态的演化和定态的问题，变成了Green函数的演化和定态的问题。于是，我们发现，之前的通过无相互作用系统来求解相互作用系统Green函数的方法，在这里，都可以迁移过来了。因此，实际上，这个计算问题就成了非平衡系统的Green函数计算问题[1]。
在完成这个工作之后，我们注意到，实际上，求解量子方程除了Green函数，还有另一种方法：把量子算符方程转化为经典随机微分方程。于是，我们同样把量子算法的非平衡定态的演化方程转化成了随机经典微分方程。做了初步的探索，发现计算量大大减少了，能够得到近似正确的值[1]。
进一步工作
- BBGKY2（吴金闪，王馨，基本完成，写文章）
- BBGKY应用于Lindblad方程以及Lindblad和Redfield方程的比较（王馨，吴金闪，基本完成，写文章）。这是几篇其他人做的比较[3][4]。
- GFPE与Lindblad方程
- GFPE的数值求解（直接方法、Matrix-free简单迭代方法，XMDS2）
- BBGKY方法计算平衡态与其他平衡态计算方法的比较
- BBGKY标准计算程序以及大系统的BBGKY
- BBGKY与tDMRG、NEGF的对比
- GFPE与Redfield方程，解析解，三阶项的处理，以及GFPE标准计算程序
- BBGKY、GFPE之于具体系统，具体现象，包含热导、电导
- 能不能把这个非平衡定态的计算和Ads/CFT结合，也就是用把平衡态的Ads/CFT用这个计算思路改造成非平衡定态的
BBGKY应用于Lindblad方程以及Lindblad和Redfield方程的进一步比较
Lindblad方程可以看做是在Redfield方程的基础上，再一次用了局域算符的近似。这样的进一步近似可能会使得方程的行为很不一样，也可能会使得两个方程其实差不多。其中一种情况就可能是两个方程的中心系统比较小的时候差别比较大（这个我们已经算出来，看到。其他人也有类似的工作），但是，在某些条件下（例如，系统比较大、系统存在Anderson局域态、系统相互作用强度大于无相互作用项的强度），两个方程其实相差比较小。因此，从理论上，我们希望来对比这两个方程，在上面提到的条件下。
另一方面，实际上，在量子相干性的理论研究中，很多时候研究者采用这个多用了一次近似的Lindblad方程。如果我们能够通过理论计算（甚至实验研究）告诉大家其实两个相差比较大，或者其实在某些条件下，两者相差不大，也会很有价值。
因此，本项目打算对比几个典型的一维（或者准一维）系统在Lindblad和Redfield方程下面的行为，同时考虑上面提到的不同的条件：系统大小、系统是否存在局域态、系统是否存在相互作用。
具体研究方法上：在小系统上，做直接对角化和解析计算、BBGKY；在大和包含相互作用的系统上，采用BBGKY。
BBGKY用于非平衡相变的研究
有一些相变是纯粹非平衡的，例如Benard流是由温度差驱动的。我们现在有了处理量子非平衡系统的计算方法，那么，是不是能够找到一些量子系统的例子，研究一下这些系统的非平衡相变的问题呢？例如，是否随着温度差（化学势差）的变化，系统的关联长度、非对角元大小、engtanglement度，产生了相变行为。
参考文献
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Jinshan Wu, Quantum Transport Through Open Systems, UBC, PH.D. dissertation, 2011.
- ↑ K. Saito, S. Takesue, and S. Miyashita. Thermal conduction in a quantum system. Physical Review E, 54(3):2404-2408, 1996.
- ↑ Emmanuel Pereira, Heat, work, and energy currents in the boundary-driven XXZ spin chain, Phys. Rev. E 97, 022115(2018) https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.97.022115 .
- ↑ Archak Purkayastha, Abhishek Dhar, and Manas Kulkarni, Out-of-equilibrium open quantum systems: A comparison of approximate quantum master equation approaches with exact results, Phys. Rev. A 93, 062114(2016) https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.93.062114 .
本分类目前不含有任何页面或媒体文件。
