研究问题

一般来说，经典概率论假设如下的条件概率关系，或者说完全概率和条件概率的关系成立，[math]\displaystyle{ P\left(A\right)=\sum_{b}P\left(A|B=b\right)P\left(b\right) }[/math]。其中，[math]\displaystyle{ a,b }[/math]是随机变量的具体值，[math]\displaystyle{ A,B }[/math]是随机变量。

一般来说，经典博弈论假设经典概率论成立。

但是，一方面，博弈实验的结果已经展示了对上面这个“完全概率和条件概率的关系”的突破^[1][2][3][4]。另一方面，就算经典概率论成立的条件下，也可以通过引入主观概率[math]\displaystyle{ W\left[P\left(b\right)\right] }[/math]来解释一些看起来突破上面的完全概率和条件概率关系的实验结果。注意，同时对于收益也可以主观收益，也就是效用函数不一定就是货币收益的线性函数，可以有非线性，可以有其他非货币收益。例如，记为[math]\displaystyle{ u\left(x,o\right) }[/math]，[math]\displaystyle{ x,o }[/math]分别表示货币收益和其他收益。注意，更加复杂的情形在于这个效用函数的非线性在概率决策的情况下可以加到（主观）概率做平均得到的平均收益之后[math]\displaystyle{ u=u\left(\sum_{i}W\left[P_{i}\right] x_{i},o\right) }[/math]，也可以加到概率平均之前[math]\displaystyle{ u=\sum_{i}W\left[P_{i}\right]u\left(x_{i},o\right) }[/math]。前者相当于对（主观）概率再一次做了非线性，后者维持（主观）概率平均的线性形式不变仅仅把每一项选择对应的收益非线性了。

考虑到客观概率、主观概率的问题（还有没有给定概率需要决策者估计带来的belief和模糊的问题），这里有一个标准模型五个非线性模型：

1. 经典完全理性个体的决策理论，客观概率－客观货币收益：[math]\displaystyle{ u=\sum_{i}P_{i}x_{i} }[/math]
2. 主观概率－客观货币收益：[math]\displaystyle{ u=\sum_{i} W\left[P_{i}\right]x_{i} }[/math]
3. 客观概率－主观收益：[math]\displaystyle{ u=\sum_{i} P_{i}u\left(x_{i},o\right) }[/math]
4. 主观概率－主观收益：[math]\displaystyle{ u=\sum_{i} W\left[P_{i}\right]u\left(x_{i},o\right) }[/math]
5. 客观概率平均收益的主观衡量：[math]\displaystyle{ u=u\left(\sum_{i}P_{i}x_{i},o\right) }[/math]
6. 主观概率平均收益的主观衡量：[math]\displaystyle{ u=u\left(\sum_{i}W\left[P_{i}\right]x_{i},o\right) }[/math]

当[math]\displaystyle{ W\left[P_{i}\right], u\left(x_{i},o\right)=u\left(x_{i}\right) }[/math]都是线性函数的时候，所有的模型回到标准模型。

于是，现在的研究问题就成了，在六种模型都允许存在的条件下，是否可以解释那些违反“完全概率和条件概率的关系”的经典博弈实验结果，更进一步能不能写下来适用于决策和博弈实验以及现象的[math]\displaystyle{ W\left[P_{i}\right], u\left(x_{i},o\right) }[/math]？

实验研究和实验结果

实验可以有几种不同的方式。

例如，在一个博弈实验中，给被试明确的信息“对家会采用某决策”，也就是[math]\displaystyle{ P\left(b\right)=1 }[/math]，然后多次测量或者直接让被试估计出来得到[math]\displaystyle{ P\left(A|B=b\right) }[/math]。接着，在不给定[math]\displaystyle{ P\left(b\right) }[/math]信息的条件下，对同样的被试测量出来[math]\displaystyle{ P\left(A\right) }[/math]。最后检验一下“完全概率和条件概率的关系”[math]\displaystyle{ P\left(A\right)=\sum_{b}P\left(A|B=b\right)P\left(b\right) }[/math]是否成立。这个时候，经常会发现，这个没有给定[math]\displaystyle{ P\left(b\right) }[/math]信息条件下的[math]\displaystyle{ P\left(A\right) }[/math]的结果，无论[math]\displaystyle{ P\left(b\right) }[/math]取值为什么，“完全概率和条件概率的关系”都不成立。

例如，在一个博弈实验中，给被试明确的信息“对家会采用某决策”，也就是[math]\displaystyle{ P\left(b\right)=1 }[/math]，然后多次测量或者直接让被试估计出来得到[math]\displaystyle{ P\left(A|B=b\right) }[/math]。接着，在不给定[math]\displaystyle{ P\left(b\right) }[/math]信息的条件下，让被试估计出来其信念中的[math]\displaystyle{ W\left[P\left(b\right)\right] }[/math]，然后对被试测量出来[math]\displaystyle{ P\left(A\right) }[/math]。最后检验一下“完全概率和条件概率的关系”[math]\displaystyle{ P\left(A\right)=\sum_{b}P\left(A|B=b\right)W\left[P\left(b\right)\right] }[/math]是否成立。这个时候，也经常会发现，“完全概率和条件概率的关系”都不成立。

以上的前人的研究主要关注概率、主观概率、完全概率和条件概率的关系。更一般的包含主观收益平均和主观平均收益的研究还相当少，以后再整理。

可能的解释

那为什么？有一部分研究者^[1]认为这写实验结果意味着经典概率论的逻辑框架对于描述博弈论不够用，应该扩展成为量子概率论，那里“完全概率和条件概率的关系”会多出来一项，[math]\displaystyle{ P\left(A\right)=\sum_{b}P\left(A|B=b\right)W\left[P\left(b\right)\right]+P }[/math]。至于多出来的那一项的具体形式可以有不同的数学模型。

还有一个可能，就是博弈者由于对概率认知的局限性，并没有按照“理性的”决策方式来思考。这个“完全概率和条件概率的关系”要求被试必须作如下思考：我想想，如果对家选取策略[math]\displaystyle{ b }[/math]，我要怎么做，然后再估计出来对家大概以什么概率选取策略[math]\displaystyle{ b }[/math]，合起来差不多就是“我”的策略。但是，很有可能被试在给定对家概率和不给定的条件下是两种思维方式。比如说，给定的时候，做接近理性的思考；不给定的时候，想反正我也估计不出来对家要做什么，我就随便选好了——而且这个随便选不仅仅是相当有把对家的多种可能选择都平均起来的结果，而是真的当做信息不足的问题，随便选。

如何做下一步工作

看看引导一下被试完全按照理性的思考来决策，结果会怎样？直接把这个结果上的矛盾扔给被试，看看被试如何解释？

为什么这个研究值得做

人类的实际的概率性决策行为用什么样的数学模型来描述，甚至将来真的引入量子博弈之后，人类的概率性决策行为如何描述，是一个非常重要的问题。另一方面，也是和概率决策的效用函数这个更加一般的主题联系在一起的。如果我们希望我们的理论模型还能够描述世界，则这是一个不能逃避的问题。

参考文献